2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题四 立体几何 第三讲 空间向量与立体几何课时作业 理
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2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题四 立体几何 第三讲 空间向量与立体几何课时作业 理
2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题四 立体几何 第三讲
空间向量与立体几何课时作业 理
1。(2016·山西四校联考)如图,在三棱锥P。ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA＝90°，PB＝BC＝
CA＝2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF＝FA。
（1)求证：BE⊥平面PAC；
(2）求直线AB与平面BEF所成角的正弦值．
解析:（1）证明:∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC,∴AC由∠BCA＝90°，可得AC⊥CB， 又PB∩CB＝B,∴AC⊥平面PBC， ∵BE?平面PBC,∴AC⊥BE。
∵PB＝BC，E为PC中点，∴BE⊥PC， 又PC∩AC＝C，∴BE⊥平面PAC.
（2）如图，以B为原点建立空间直角坐标系．则C（2,0，
0），A（2,2,0)，0,2),错误!＝（1，⊥PB，
P(0，0，2）,E(1，0，1），错误!＝(2，2,－2),错误!＝(0，
0,1),
∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!。 设平面BEF的法向量为m＝（x，y，z）． 由错误!，得错误!
令x＝1，则y＝1，z＝－1,∴m＝(1，1，－1）．
又错误!＝（－2，－2,0），∴cos<错误!,m>＝错误!＝－错误!, 设直线AB与平面BEF所成的角为α,
∴sin α＝错误!,∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值为错误!. 2.(2016·高考全国Ⅰ卷)如图，在以A，B,C，D，E，F体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二与二面角C。BE.F都是60°. （1）证明:平面ABEF⊥平面EFDC； （2)求二面角E-BC。A的余弦值．
解析:(1）证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥EF， 所以AF⊥平面EFDC。
为顶点的五面面角D。AF-E2
2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题四 立体几何 第三讲 空间向量与立体几何课时作业 理 又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC。
（2)过D作DG⊥EF，垂足为G.由（1)知DG⊥平面ABEF。
以G为坐标原点,错误!的方向为x轴正方向,｜错误!|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz。
由（1）知∠DFE为二面角D。AF.E的平面角,故∠DFE＝60°,则｜DF|＝2,|DG｜＝错误!，可得
A（1,4，0),B(－3，4，0)，E(－3，0,0），D(0,0,错误!)．
由已知得AB∥EF,所以AB∥平面EFDC。
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF。 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF＝60°。 从而可得C(－2,0，错误!）．
所以错误!＝（1，0，错误!)，错误!＝（0,4，0),错误!＝(－3,－4,错误!),错误!＝(－4，0，0)． 设n＝（x，y，z）是平面BCE的法向量， 则错误!即错误!
所以可取n＝(3,0，－错误!）． 设m是平面ABCD的法向量，则错误! 同理可取m＝(0,错误!，4)． 则cos〈n,m〉＝错误!＝－错误!. 故二面角E-BC.A的余弦值为－错误!. 3．（2016·福州调研)
如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AA1＝AD＝1，E为CD的中（1）求证:B1E⊥AD1。
（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，若不存在,说明理由．
解析：(1)证明：以A为原点，错误!，错误!，错误!的方向分别为x轴，y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图)．
设AB＝a,则A(0，0，0),D(0，1,0),D1(0,1，1），E错误!，B1（a,0，1)。错误!＝(0，1,1)，错误!＝错误!。
故错误!·错误!＝－错误!×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B1E⊥AD1。
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点．
求AP的长;
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