全国高中数学竞赛专题三角函数

竞赛试卷

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=

L,其中r是圆的半径。 r定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取

一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=正切函数tanα=

xy,余弦函数cosα=,

rrxrry，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=.

yyxx111定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；

cot?csc?sec?sin?cos?商数关系：tanα=； ,cot??cos?sin?乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；

平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;

（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα;

（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα;

（Ⅳ）sin?????????????=cosα, cos????=sinα, tan????=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。 222????????定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。

单调区间：在区间?2k???2,2k????2??上为增函数，在区间?2k?????3?,2k????上为减函数， 22?最小正周期：2?. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x=2kx+对称性：直线x=k?+

??时，y取最大值1，当且仅当x=3k?-时, y取最小值-1，值域为[-1，1]。 22?均为其对称轴，点（k?, 0）均为其对称中心。这里k∈Z. 2定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。

单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。

有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。

对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点?k??????,0?均为其对称中心。这里k∈Z. 2????)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 222?最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。

2定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α?β)=cosαcosβ?sinαsinβ,

sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ;

(tan??tan?). tan(α?β)=

(1?tan?tan?)2222 两角和与差的变式：sin??sin??cos??cos??sin(???)sin(???)

2222 cos??sin??cos??sin??cos(???)cos(???)

定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x?kπ+

竞赛试卷

三角和的正切公式：tan(?????)?定理7 和差化积与积化和差公式:

tan??tan??tan??tan?tan?tan?

1?tan?tan??tan?tan??tan?tan??????????????????????cos??, sinα-sinβ=2sin??cos??, 2222????????????????????????????cosα+cosβ=2cos??cos??, cosα-cosβ=-2sin??sin??,

2222????????11sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],

2211cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

22sinα+sinβ=2sin?定理8 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=

三倍角公式及变式：sin3??3sin??4sin?，cos3??4cos??3cos?

332tan?. 2(1?tan?)11，cos(60si?n(?60?)?sin3??)cos?cos(60??)?cos3?

44(1?cos?)(1?cos?)??定理9 半角公式: sin=?, cos=?,

2222sin?(1?cos?)?(1?cos?)?. tan=?=

(1?cos?)sin?2(1?cos?) sin(6?0?)?sin?????????1?tan2??2tan??2tan???2?,tan???2?. ?2?, cos??定理10 万能公式: sin???????????1?tan2??1?tan2??1?tan2???2??2??2?定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2?0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，

ba则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=(a2?b2)sin(α+β).

a2?b2a2?b2abc定理12 正弦定理：在任意△ABC中有???2R，

sinAsinBsinC其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14 射影定理：在任意△ABC中有a?bcosC?ccosB，b?acosC?ccosA，c?acosB?bcosA 定理15 欧拉定理：在任意△ABC中，OI?R?2Rr，其中O,I分别为△ABC的外心和内心。 定理16 面积公式：在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长p?则S?22a?b?c 211abcaha?absinC??rp?2R2sinAsinBsinC?rR(sinA?sinB?sinC) 224R12)(p?b)(p?c)?2(acotA?2bco?tBc coCt) ?p(p?a4

定理17 与△ABC三个内角有关的公式：

ABCcoscos; 222ABC （2）cosA?cosB?cosC?1?4sinsinsin;

222 （1）sinA?sinB?sinC?4cos竞赛试卷

（3）tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC;

ABBCCAtan?tantan?tantan?1; 222222（5）cotAcotB?cotBcotC?cotCcotA?1; （6）sin2A?sin2B?sin2C?4sinAsinBsinC.

（4）tan定理18 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+?)的图象（相位

1，得到y=sin?x(??0)的图象（周期变换）；横坐标不变，?纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?, ?>0)(|A|

变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的

?个单位得到y=Asin?x的图象。 ???????定义4 函数y=sinx?的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])， x??,??????22???叫作振幅)的图象向右平移

函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx??x??????????,???的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). 22???函数y=cotx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理19 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。

方程cosx=a的解集是{x|x=2kx?arccosa, k∈Z}.

如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。

恒等式：arcsina+arccosa=

定理20 若干有用的不等式：

（1）若x??0,??；arctana+arccota=. 22?，则sinx

2?sinxtanx?（2）函数y?在(0,?)上为减函数；函数y?在(0,)上为增函数。

xx2（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z∈R，

有x?y?z?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC 等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.

二、方法与例题 1．结合图象解题。

例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。

例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若x??222??????????,??，则-1

?2??2?所以sin(cosx) ≤0,又00，所以cos(sinx)>sin(cosx). 若x??0,????2??，则因为sinx+cosx=2sin(x+

????)≤2<，所以0cos(

?-cosx)=sin(cosx). 2综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)

3．最小正周期的确定。

例3 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

竞赛试卷

【解】 因为cos(-x)=cosx，所以cos|x|=cosx, 所以T=2π是函数的周期； 4．三角最值问题。

例4 已知函数y=sinx+1?cos2x，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=2cos?,1?cosx?则有y=2cos??因为

23???2sin???0???,

4??42sin??2sin(???4).

3????0??，所以?????，所以0?sin(??)≤1， 442443???所以当???，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，当??，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.

4422?【解法二】 因为y=sinx+1?cosx?22(sin2x?1?cos2x)=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），

且|sinx|≤1≤1?cos2x，所以0≤sinx+1?cos2x≤2， 所以当1?cos2x=sinx，即x=2kπ+当1?cos2x=-sinx，即x=2kπ-5．换元法的使用。

?(k∈Z)时, ymax=2， 2?(k∈Z)时, ymin=0。 2sinxcosx的值域。

1?sinx?cosx?2?2???2sin(x?). 【解】 设t=sinx+cosx=2?sinx?cosx?2?24??例5 求y?因为?1?sin(x??4)?1,所以?2?t?2.

x2?1?2?12?1t2?1t?12

?y?. 又因为t=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以y?2?，所以

2221?t2?t?12?1??2?1???1,,?1??因为t?-1，所以??1，所以y?-1.所以函数值域为y????. ??22?2???6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(?x+?)(A, ?, ?>0).

?3?????

,0?对称，且在区间?0,?上例6 已知f(x)=sin(?x+?)(?>0, 0≤?≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M??4??2?

是单调函数，求?和?的值。

【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(?x+?)=sin(-?x+?)，

?所以cos?sinx=0，对任意x∈R成立。又0≤?≤π，解得?=，

233?3??,0?对称，所以f(??x)?f(??x)=0。 因为f(x)图象关于M?44?4???33??2?3?????0.所以??k??(k∈Z)，即?=(2k+1) (k∈Z). 取x=0，得f(?)=0，所以sin?2?4423?4??又?>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；

22??取k=1时，?=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；

22竞赛试卷

取k=2时，?≥

综上，?=

10??，此时f(x)=sin(?x+)在[0，]上不是单调函数， 3222或2。 37．三角公式的应用。

55????3??,2??，求sin2α,cos2β的值。 ，sin(α+β)=- ，且α-β∈?,??，α+β∈?1313?2??2?12???2【解】 因为α-β∈?,??，所以cos(α-β)=-1?sin(???)??.

13?2?12?3??,2??，所以cos(α+β)=1?sin2(???)?. 又因为α+β∈?13?2?120所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,

169例7 已知sin(α-β)=

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

例8 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且【解】 因为A=1200-C，所以cos

112A?C???，试求cos的值。 cosAcosCcosB2A?C=cos(600-C)， 21111cos(1200?C)?cosC又由于 ????cosAcosCcos(1200?C)cosCcosCcos(1200?C)=

???22，

11[cos1200?cos(1200?2C)]cos(1200?2C)?22A?C32A?C2A?C2A?C???所以42cos或cos。 ?2cos?32=0。解得cos282222A?C2A?C?又cos>0，所以cos。 222??例9 求证：tan20+4cos70=3 sin20?sin20??4sin20?cos20?sin20??2sin40?????【解】 tan20+4cos70=+4sin20? ???cos20cos20cos20sin20??sin40??sin40?2sin30?cos10??sin40???

cos20?cos20?sin80??sin40?2sin60?cos20????3. ??cos20cos20

72cos600cos(600?C)2cos(600?C)例10 证明：cos7x?7cos5x?21cos3x?35cosx?64cosx

分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为sinx、

cosx的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 证明：因为cos3x?4cosx?3cosx,所以4cosx?cos3x?3cosx,

从而有16cos6x?cos23x?6cos3xcosx?9cos2x

33竞赛试卷

?1?cos6x9?3(cos4x?cos2x)?(1?cos2x) 22

32cos6x?1?cos6x?6cos4x?6cos2x?9?9cos2x,64cosx?2cos6xcosx?12cos4xcosx?30cos2xcosx?20cosx7

?cos7x?cos5x?6cos5x?6cos3x?15cos3x?15cosx?20cosx

?cos7x?7cos5x?21cos3x?35cosx.评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令

11z?cos??isin?,则2cos??z?,从而,128cos7??(z?)7，展开即可.

zz 已知1?tan??2001,求证:sec2??tan2??2001.1?tan?例11

1?tan?1?cos(?2?)1?tan?1?sin2??21?tan?证明：sec2??tan2?? ??tan(??)??2001.?cos2?41?tan?sin(?2?)2?2001.??例12 证明：对任一自然数n及任意实数x?m?(k?0,1,2,?,n,m为任一整数）， k2有

111n?????cotx?cot2x.nsin2xsin4xsin2x

思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多

中间项.

12cos2x?cos2x2cos2xcos2x证明：????cotx?cot2x,

sin2xsin2x2sinxcosxsin2x11n?1n …… ?cot2x?cot2x ?cot2x?cot4xnsin2xsin4x评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.

②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：

同理

tan?tan2??tan2?tan3????tan(n?1)?tann??tann??n. tan?tan??2tan2??22tan22????2ntan2n??cot??2n?1cot2n?1?. 111???????cos1cot1??????cos0cos1cos1cos2cos88cos89例13 设?ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则

A. (0,??) B. (0,sinAcotC?cosA 的取值范围是（ ）

sinBcotC?cosB5?15?15?15?1) C. (,) D. (,??) 2222sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC[解] 设a,b,c的公比为q，则b?aq,c?aq2，而 ?sinBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinC ?sin(A?C)sin(??B)sinBb????q．

sin(B?C)sin(??A)sinAa竞赛试卷

因此，只需求q的取值范围．

因a,b,c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a,b,c要构成三角形的三边，必需且只需a?b?c且

b?c?a．即有不等式组

?1?55?1?q?,22???a?aq?aq,??q?q?1?0,?22即?解得? ?22???aq?aq?a?q?q?1?0.?q?5?1或q??5?1.??22从而

5?15?15?15?1?q?，因此所求的取值范围是(,)．故选C 2222例14 △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，

AA1?cos

则A．2

ABC?BB1?cos?CC1?cos222的值为（ ） sinA?sinB?sinCB．4

C．6

D．8

解：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+

AA?B?CBCBC)?2sin(??)?2cos(?) 222222ABCAA?B?CA?C?B??AA1cos?2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)

2222222?cos(?B)?sinC?sinB,同理BB1cosB?sinA?sinC,CC1cosC?sinA?sinB, 222ABC2(sinA?sinB?sinC)?AA1cos?BB1cos?CC1cos?2(sinA?sinB?sinC),原式=?2.选A.

222sinA?sinB?sinCkkk?例15 若对所有实数x，均有sinx?sinkx?cosx?coskx?cos2x，则k?（ ）.

A、6； B、5； C、4； D、3．

解：记f?kx??sinx?sinkx?ckosx?coks?xk s，则由条件，f?x?恒为0，取x?cox2?2

，得

??k?k?sin????1，则k为奇数，设k?2n?1，上式成为sin?n?????1，因此n为偶数，令n?2m，则

2?2?k?4m?1，故选择支中只有k?3满足题意．故选D

例16 已知f?x??x2?a2?b2?1x?a2?2ab?b2是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是

A．2 B. 2 C. 22 D. 4 解：由已知条件可知，a?b?1?0，函数图象与y轴交点的纵坐标为a?2ab?b。令a?cos?,b?sin?，则a?2ab?b?cos??2sin?cos??sin??cos2??sin2??例17 已知?,??R，直线

2222??22222。因此 选 A。

xyxy??1与??1

sin??sin?sin??cos?cos??sin?cos??cos?的交点在直线y??x上，则sin??cos??sin??cos?? 。

竞赛试卷

解：由已知可知，可设两直线的交点为(x0,?x0)，且sin?,cos?为方程

x0?x0??1，

t?sin?t?cos?2的两个根，即为方程t?(cos??sin?)t?sin?cos??x0(cos??sin?)?0的两个根。

因此sin??cos???(sin??cos?)，即sin??cos??sin??cos??0。

1、cos(1?x?5x?7?2、已知函数f(x)?2x2?5x?6)＝ 。

sin(πx)?cos(πx)?215(?x?)，则f(x)的最小值为_____。 44x3、已知

tan(???)sin(??2?)1?的值是_ __. ?3，且??k?,????n??(n,k?Z)。则

tan?sin?224、设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实数x恒成立，则5、设0

bcosc= a?2(1?cos?)的最大值。

6、求证：3tan18??tan18?tan12??3tan12??1. 7、已知a0=1, an=1?an?12?1an?1(n∈N+)，求证：an>

?2n?2.

sin?.cos??A

9、若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 8、已知sin??Asin(???),|A|?1,求证:tan(???)?10、证明：sin??sin(???)?sin(??2?)???sin(??n?)?sin(??nn?1?)sin?22.sin?2x

?cos???cos???11、已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：??sin?????sin???2. 2????12、求证：①cos6?cos42?cos66?cos78??x1451 ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=()?610.

416全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案

1、解：根据题意要求，x?5x?6?0，0?x?5x?7?1。于是有x?5x?7?1。因此

222cos(1?x2?5x?7?x2?5x?6)?cos0?1。因此答案为 1。

π2sin(πx?)?215π154(?x?)，设g(x)?2sin(πx?)(?x?)，则g(x)≥0，g(x)2、解：实际上f(x)?44444x竞赛试卷

在[,]上是增函数，在[,]上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线x?3131335对称，则对任意x1?[,]，存在44444443535g(x1)?2g(x2)?2g(x2)?2x2?[,]，使g(x2)=g(x1)。于是f(x1)????f(x2)，而f(x)在[,]上是减

4444x1x1x254454515，即f(x)在[,]上的最小值是。 5544sin(??2?)1?1[sin(??2?)?sin?]tan(???)sin(???)?cos?23?1sin??????2. 3、解：

1sin(??2?)tan?cos(a?b)?sin?3?1[sin(??2?)?sin?]?12sin?14、解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x?c)=2，于是取a?b?，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x?c)=1，

2bcosc由此得??1。

aπ2一般地，由题设可得f(x)?13sin(x??)?1，f(x?c)?13sin(x???c)?1，其中0???且tan??，

23于是af(x)+bf(x?c)=1可化为13asin(x??)?13bsin(x???c)?a?b?1，即

函数，所以f(x)?f()?13asin(x??)?13bsin(x??)cosc?13bsinccos(x??)?(a?b?1)?0，

所以13(a?bcosc)sin(x??)?13bsinccos(x??)?(a?b?1)?0。

?a?bcosc?0(1)?(2)， 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有?bsinc?0?a?b?1?0(3)?若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当

c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=?1。由(1)、(3)知a?b?5、【解】因为0

??>0, cos>0. 222?2?????2??cos2?cos2??2sin222?=16?43. ≤2??2793??????

当且仅当2sin2

32243????=cos2, 即tan=, ?=2arctan时，sin(1+cos?)取得最大值。

2922222????6、思路分析：等式左边同时出现tan18tan12、tan18?tan12，联想到公式tan(???)?证明：3tan18??tan18?tan12??3tan12?

tan??tan?.

1?tan?tan??3(tan18??t?3(tan18??tan12?)?tan18?tan12? ?tan(18???3???????3(tan18??tan12?)?tan18?tan12??3?tan(18?12)(1?tan18tan12)?tan18tan12?1?3?tan(18??12?)(1?tan18?tan12?)??1tan18?tan12??1评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证(1?tan1)(1?tan2)?(1?tan43)(1?tan44)?2等.

????22竞赛试卷

7、【证明】 由题设知an>0，令an=tanan, an∈?0,????， 2??则an=

1?tan2an?1?1tanan?1?secan?1?11?cosan?1a??tann?1?tanan.

2tanan?1sinan?1na1????1?因为n?1，an∈?0,?，所以an=an?1，所以an=??a0.

22?2??2????1?又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以an???·。

44?2????又因为当0x，所以an?tann?2?n?2.

222注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x∈?0,知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

8、分析：条件涉及到角?、???，而结论涉及到角???，?.故可利用??(???)??或??(???)??消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.

证法1： ?sin??Asin(???), ?sin(?????)?Asin(???),

n????时，有tanx>x>sinx，这是个熟?2?sin(???)cos??cos(???)sin??Asin(???),?|A|?1,

?cos??A?0,sin(???)(cos??A)?sin?cos(???), 从而cos(???)?0, ?|A|?1,?|A|?1,sin??cos??A?0,tan(???)?.?|A|?1,?cos??A?0,从而cos(cos??A???)?0,sin(???)sin??cos??A?0,从而cos(???)?0,?sin?sin(???)sinsin?? 证法2：sin???tan(???)?cos?sin(???)?sin[(???)??]cos(???)?sin0,?sincossin从而??A?sin(???cos)?sin????Asin(???)sin?cos?????)?tan(sin(???)sin??sin(?)??Asin???cos?cos?sin(???)?sin[(???)??]tan(???)?cos(???)sin ?cos??Asin(???)sin?sin(???)sin????tan(???).cos?sin(???)?sin[(???)??]cos(???)sin?sin(???sinA)?B?A?BA??Btan(???).?9、【解】 因为sinA+sinB=2scos(?in??)2sinco?s2?2sin2, ①

?tan(???).???C?C?C??3cos3?2sin3, ② sinC+sin?2sin3222A?B?sin2C?2?3?2sinA?B?C??3cosA?B?C??3?2sin?，③

3又因为sin44??由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,

3333?33?所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.

2233注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调

性等是解三角最值的常用手段。 10、证明：sin?sin?1????[cos(??)?cos(??)], 2222竞赛试卷

类似地sin(???)sin

13???[cos(???)?cos(??)],2222?153sin(??2?)sin??[cos(???)?cos(???)],2222 ???12n?12n?1sin(??n?)sin??[cos(???)?cos(???)],2222?

??[cos(???)?cos(??)]222

12n?1???[cos(???)?cos(??)]?sin(??n?)sinn?1?.22222nn?1?sin(???)sin?.nn?1sin(???)sin?2222所以，sin??sin(???)???sin(??n?)?.

?sin2各项相加得,sin?2[sin??sin(???)?sin(???1sin(??n?)]?1?2?)?2n?评述：①类似地，有cos??cos(???)???cos(??n?)?sinn?1n?cos(???)22.

sin?2

772

?3571?351cos?cos??cos??.cos?cos??cos??cos??等.999929772?3571cos???cos??等.?cos??cos??cos?11、【证明】 若α+β>9，则9x>0，由α9>-β>09得cos2α

sin?222?cos?又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1，

2sin?

xx00nn?1sin?cos?22 ②利用上述公式可快速证明下列各式：cos??cos2??cos3????cosn??

??351sin2cos?cos??cos??.9?cos???cos???cos???cos?????????所以?????2. ?sin???????sin???sin???sin??cos?????若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,所以>1。

sin?2222?cos?又01，

2sin??cos???cos???cos???cos?????????所以?????2，得证。 ?sin???????sin???sin???sin??注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。cos18 ?cos42?cos78??4cos54?cos42cos78?12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°?cos18?cos42cos78?1??cos54? cos(3?18?)4cos544

?14cos54??cos18?cos42?cos78?4cos(3?18)1????.?4cos544cos5416?xx00?1cos(3?18?)?44cos54?1?1.16竞赛试卷

②sin1°sin2°sin3°…sin89°

=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =()1429sin3?sin6??sin87??3 41?()303(sin3?sin57?sin63?)(sin6?sin54?sin66?)?(sin27?sin33?sin87?)sin30?sin60? 4140?(1)40?3sin9???sin18???sin81??14232?()?sin18?sin36?sin54?sin72??(4)?3sin9?sin18?sin814421423?2140? ???????????()?sin18sin36sin54sin72?(1)40?33?2(sin9?sin18?)(sin18?sin72)(sin27sin63)(sin36sin54)?45142?3????2?????18)(sin??4sin?sin182763)(sin36sin54)?18sin45??(sin)72?)(sin2cos72cos54cos36cos?((4))42??3?(sinsin918sin36?sin54sin7214232???4424423221)42?3sin18?sin1?(?36sin?54sin?72?????(1)?3sin18sin36sin541sin723?(4)?22cos72cos54cos36cos18?418?cos236?cos72?cos54?22cos72?cos54?cos?(36)?42?18?2cos?(4)42?cos132142342???????24)42?(1?236?sin544sin3sin18sin???72??(1)42?32cos72?cos54?cos36?cos18??(1cos318?(4)?22cos18cos36cos72cos544)?322cos72cos54cos3614242???418?cos236?sin18?cos54??(4)42?22cos18?cos36?cos?(72)?cos?54??2cos133????4)42?22?(1cos54cos436cos18??(11)4232cos7242?32cos18?cos36?cos72?cos54?????(4)?22cos18cos36sin18cos544)?322cos18cos36cos72?(1cos3541?4342???472?cos254?42?(1)42?32cos18?cos36?sin?18()?cos?54?2sin14234)?242?(12cos18cos36cos72cos541)43?32cos18??cos36??sin18?cos54?3?(42???? ?(4)?22sin72cos544)?322cos18cos36sin18?(1cos541343??43418?sin236??(4)42?22sin72?cos54??()???2cos133??4)?2 ?(14cos2cos36sin1854?(11)43132cos1843?32sin72?cos54???43??4)?322sin721cos54?()?2cos18sin36?(1?cos36?cos72?cos36?(14243????2??4424?(?22cos36又(cos18sin)18??sin(1?cos36)(1?cos72) 1)43336?143342?(1)43?32sin72?4cos541 ?1?sin36??????()?2cos18? ??(1?cos36cos72)42?(1?cos36?cos72?cos36cos72)?()?2cos18sin364244414323???()?2cos181sin3651????????(1?cos36?cos72?cos36cos72)?(1?cos36cos72)42164451??. (1?cos36?cos72?)即 cos18?sin36??516445?161所以 sin1?sin2??sin89??()45?610.

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