第28讲 图形的相似与位似
1．比例线段
ac
(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若＝或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d
bdab
叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有＝，则b叫做a，c的比例中项．
bc(2)比例的基本性质及定理 ac
①＝?ad＝bc； bdaca±bc±d②＝?＝； bdbd
acma＋c＋…＋ma③＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)?＝. bdnb＋d＋…＋nb4．相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (2)相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； ②两角对应相等，两三角形相似；
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ④三边对应成比例，两三角形相似；
⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 5．射影定理
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．
(1)AC＝AD·AB； (2)BC＝BD·AB； (3)CD＝AD·BD； (4)AC∶BC＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.
2
2
2
2
2
6．相似三角形的实际应用
(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：
①将实际问题所求线段长放在三角形中； ②根据已知条件找出一对可能相似的三角形； ③证明所找两三角形相似；
④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．
(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．
身高
如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即＝
影长建筑物的高度
.
建筑物的影长
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．图形的位似
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k.
(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形
考点1： 相似三角形的性质
【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．20
B．22
C．24
D．26
2021年中考数学考点总动员第28讲 图形的相似与位似
