题型专题(十八) 概率、随机变量及其分布列
[师说考点]
1．古典概型的概率公式
mA中所含的基本事件数P(A)＝＝.
n基本事件总数
[说明] 求事件包含的基本事件数，常用计数原理与排列、组合的相关知识． 2．几何概型的概率公式
P(A)＝
构成事件A的区域长度（面积或体积）
.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
[典例] (1)(2016·合肥质检)某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为( )
A.
927817 B. C. D. 166425616
4
[解析] 选A 由题意得，所有的基本事件总数为4＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C4·C3·C4·A2＝144，故所1449
求概率P＝＝，故选A.
25616
(2)(2016·山西质检)某同学用计算器产生两个[0，1]之间的均匀随机数，分别记作x，
3
1
2
2
y.当y
A.
7177 B. C. D. 242128
1
2
12
[解析] 选D 记“y
2示，
113113117P（AB）2
∴S1＝?xdx＝x|20＝，S2＝?1xdx－S1＝x|0－＝，则所求概率为＝＝
32432424P（A）??
120
0
7
＝，故选D. 178＋2424
[类题通法]
1．利用古典概型求概率的关键及注意点
(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．
(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及应用关键
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
[演练冲关]
1．(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.
7533
B. C. D. 108810
724
解析：选B 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒255
才出现绿灯的概率为＝，故选B.
408
2．在三棱锥S-ABC内任取一点P，使得三棱锥P-ABC的体积满足VP-
是( )
7311A. B. C. D. 8424
解析：选A 由题意知，三棱锥S-ABC与三棱锥P-ABC的底面相同，设三棱锥S-ABC111
的底面面积为S，则三棱锥P-ABC的高h与三棱锥S-ABC的高h′满足Sh<×Sh′，所323以h<
ABC1 ABC的概率 h′.如图，点P位于棱台A′B′C′-ABC内，其中A′，B′，C′分别为SA，SB，SC21 的中点，易知棱台的上底面的面积S′＝S，所以棱台的体积应为VS- 4 ABC1－VS- 8 ABC7＝VS- 8 ABC， 7VS-ABC87 故所求概率为＝. VS-ABC8 3．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为( ) 1113 A. B. C. D. 35920 解析：选A 当学生A最后一个出场时，有A3A3＝18种不同的安排方法；当学生A不是最后一个出场时，有A3A3＝36种不同的安排方法，所以满足“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的所有不同安排方法有18＋36＝54种．其中“C第一个出场”的结果有A3A3＝18种，则所求概率为 13 23 13 181 ＝，选项A正确. 543 [师说考点] 概率类型 相互独立事 件同时发生 独立重复 试验 特点 事件互相独立 概率求法 P(AB)＝P(A)P(B) (A，B相互独立) kn－P(X＝k)＝Cknp(1－p)一次试验重复n次 k (p为发生的概率) [典例] (2016·山东高考节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的32 概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影 43响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和X的分布列． [解] (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，＋，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得， 2 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. 3 (2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6. 根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得， P(X＝0)＝×××＝3143 1143111 ， 43144 1112143434 13 105＝， 14472 11213434 225 ， 3144 P (X＝1)＝2×(×××＋×××)＝ 31433243 31311434341111343434 P (X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝P (X＝3)＝×××＋×××＝ 3243 3132143434 2121 ＝， 314412 23 605＝， 14412 21233434 P (X＝4)＝2×(×××＋×××)＝ 3232361 P (X＝6)＝×××＝＝. 43431444可得随机变量X的分布列为 X P [类题通法] 0 1 2 3 4 6 1525151 1447214412124求复杂事件概率的2种方法 (1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解． (2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解． [演练冲关] 1．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于( ) ?3??5?9?3?A．C???? B．C12???8??8??8? 1012 102 9523?? ?8?8?? ?5?C．C???8? 911 239102?? D．C9?3??5? ?8?11???????8??8? 解析：选D “X＝12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白39?3?9?5?29?3?10?5?2 球，因此P(X＝12)＝C11??×??＝C11????. 8?8??8??8??8? 2．某校要用三辆校车把教师从西校区送到东校区，已知从西校区到东校区有两条公路，13 校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为p，不堵车的 44概率为1－p.若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆校车是否堵车相互之间没有影响． 7 (1)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率； 16(2)在(1)的条件下，求三辆校车中被堵的辆数ξ的分布列． 3?2137?解：(1)由已知条件得C××·(1－p)＋??·p＝， 4416?4? 12 1 即3 p＝1，则p＝. 3 (2)ξ可能的取值为0，1，2，3. 33237 P(ξ＝0)＝××＝；P(ξ＝1)＝； 44381611211311 P(ξ＝2)＝××＋C2×××＝； 44344361111 P(ξ＝3)＝××＝. 44348 ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P [师说考点] 1．均值与方差的性质 3711 816648
[三维设计]2017届高中三年级数学(理)二轮复习精品同步_题型专题(18)概率、随机变量和分布列(通用版).
