函数的奇偶性和周期性

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函数的奇偶性和周期性

基本知识1．函数的奇偶性的定义：

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

注：奇函数+奇函数一定是奇函数，可能为偶函数 偶函数+偶函数一定是偶函数，可能为奇函数 奇函数*奇函数为偶函数，偶函数*偶函数为偶函数。奇函数*偶函数为奇函数 2、 函数的周期性命定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

基本方法

1、 奇偶性的综合应用

奇函数 偶函数 定义域 关于原点对称 关于原点对称 解析式 F(-x)=-F(x) F(-x)=F(x) 图像 关于原点对称 关于y轴对称 对称区间单调性 相同 相反 函数值的符号 相反 相同 若在x=0处有意义 f(0)=0 任意 2、 周期性的常见判断方法：

f(x+a)=f(x)则周期为a f(x+a)=-f(x)则周期为2a f(x+a)=f(x+b)则周期为︱a-b︱ f(x+a)=f(x-a)则周期为2a 若f(x?a)?1 则周期为2a f(x)基本题型 考点一：奇偶性的基本性质 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·1?x； 1?x?x(1?x)1?x2（3）f(x)?；（4）f(x)??|x?2|?2?x(1?x).题型2：证明抽象函数的奇偶性

(x?0),(x?0).

[例2]定义在区间(?1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y?(?1,1)，

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都有f(x)?f(y)?f(x?y). 求证f (x)为奇函数； 1?xy2练习：1．设函数f?x??x?1?x?a?为奇函数，则a?___________。

??2．已知函数f(x)?ax2?bx?3a?b是定义域为[a?1,2a]的偶函数，则a?b的值是（ ） A．0；B．

1；C．1；D．?1 33．定义两种运算：a?b?a2?b2，a?b?(a?b)2，则f(x)?2?x

(x?2)?2是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）

ax2?14．已知函数f(x)?（a、b、c∈Z）是奇函数,f(1)?2，f(2)?3，求a b c的值.

bx?c考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

[例3]已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数，若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。 [例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)

1a2?3a?1)的单调递减区间. 2练习5．若f(x)是奇函数，且在?0,???内是增函数，又f(3)?0，则xf(x)?0的解集是（ ） A.{x?3?x?0或x?3}；B.{xx??3或0?x?3} C.{xx??3或x?3}； D.{x?3?x?0或0?x?3}

f(x)?0；当x?3时，f(x)?0，可见xf(x)?0的解集是{x?3?x?0或0?x?3}

6．在R上定义的函数f?x?是奇函数，且f?x??f?2?x?，若f?x?在区间?1,2?是减函数，则函数f?x?（ ）

A.在区间??3,?2?上是增函数，区间?3,4?上是增函数B.在区间??3,?2?上是增函数，区间?3,4?上是减函数 C.在区间??3,?2?上是减函数，区间?0,1?上是增函数 D.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是减函数

3x7． R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x??0,2?时，f(x)?x。求f(x)在??2,2?上的解析式

9?1考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用

[例5] R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)?1对于x?R恒成立，f(x)?0则f(119)? _____ 练习8．设f?x?是定义在R上的正值函数,且满足

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f?x?1?f?x?1??f?x?.若f?x?是周期函数,则它的一个周期是 _____

9．函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2?f(x)?1，若f?1???5,则

f??5??__________

沁园春·雪

北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。 望长城内外， 惟余莽莽； 大河上下， 顿失滔滔。

山舞银蛇， 原驰蜡象， 欲与天公试比高。 须晴日， 看红装素裹， 分外妖娆。 江山如此多娇， 引无数英雄竞折腰。 惜秦皇汉武， 略输文采； 唐宗宋祖， 稍逊风骚。

一代天骄， 成吉思汗， 只识弯弓射大雕。 俱往矣， 数风流人物， 还看今朝。

克

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