【精品】2011届高考数学二轮复习 数系的扩充与复数的引入专题学案 （教师版全套）
数系的扩充与复数的引入
【学法导航】
复数属于新增内容，本章重点是复数的概念及代数形式的运算.难点是复数的复数的四则运算，复数的概念及其运算是高考命题热点，从近几年高考试题来看，主要考查复数的概念及其运算，难度不大，常以填空题出现，但在高考试卷中属于必考题，应引起注意。复数的概念，搞清楚实部与虚部，i＝－1，共轭复数等概念，及复数和运算
1.复数有关概念：实数、虚数、纯虚数、虚部、实部、共轭复数、复数相等等概念的理解、正确应用及复数的加减乘除四则运算法则的理解和正确应用
?实数(b?0)??纯虚数(a?0)?虚数（b?0）?非纯虚数(a?0)?a?bi(a,b?R)??⑴复数．
2⑵复数相等：a?bi?c?di?a?c且b?d(a,b,c,d?R)．
⑶共轭复数：a?bi与a?bi(a，b?R)互为共轭复数．注意：①z?z?2a?R，
z?z?2bi为纯虚数或零；②z?z?z?R；③z是纯虚数?z?z?0且z?0．
【规律总结】
*(n?N)： 1．复数中常见的重要结论
4n4n?14n?24n?3mnmn(zz)n?z?zmnm?ni?1,i?i,i??1,i??i； （z）?z，z?z?z，1212①；②22(a?bi)(a?bi)?a?b③，a?bi?i(b?ai)；
nn1?i1?i??i,?i,nn?1n?2n?3(1?i)??2i,i?i?i?i?0； 1?i1?i④，
2⑤设
????12132i3k3k?13k?2*??????,???(k?N),?，?3??3；2，则??1,?
nn?1n?2?1????2?0，??????0(n?N)．
z1?z2?z1?z2,z1z2?z1?z2,(2．共轭复数的运算性质：
z1z)?1(z2?0),z2z2
zn?(z)n(n?N*),z?z,z?R?z?z,z为纯虚数?z??z,z?z?|z|2?|z|2．
3．复数中的解题方法和策略：
⑴证明复数是实数的策略：①z?a?bi?R?b?0(a,b?R)②z?z?2a?R③z?z?z?R．
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【精品】2011届高考数学二轮复习 数系的扩充与复数的引入专题学案 （教师版全套） ⑵证明复数是纯虚数的策略：①z?a?bi为纯虚数?a?0,b?0(a,b?R)；②
b?0时，z?z?2bi为纯虚数；③z是纯虚数?z?z?0且z?0．
⑶复数方程求解策略：①利用求根公式；②利用韦达定理；③利用复数相等的定义求解． ⑷复数模的求解策略：①利用定义求复数的模；②利用几何意义求复数的模；③利用复数对应的向量关系求复数的模；④利用方程思想求解复数的模．
⑸解决复数问题基本策略：①复数相等策略；②分母实数化策略；③利用几何意义转化为点或向量策略；④借助于特殊结论求解策略．
【专题综合】
1.复数与三角函数的交汇
例２已知复数z1?2?icos?,z2?2?isin?，则|z1?z2|的最大值为 . 本题简介：主要考查复数的乘法运算、复数模的求解、三角公式和三角函数有界性的熟练应用.
分析：把|z1?z2|表示出来，然后利用三角函数的有界性求最大值. 解：∵|z1?z2|?|z1||z2|?|2?icos?||2?isin?|
?4?cos2??4?sin2??20?4sin2?cos2? ?20?sin22??21， ∴|z1|?|z2|的最大值为21.
反思：本题以复数为切入点，重点考查了复数的模的计算方法、三角函数有关公式、最值的求解、均值不等式等内容，涉及的知识较多，基础性较强，所以求解此类问题的关键是熟练掌握所学基础知识．
2.复数和逻辑知识的交汇
22 例5 z1?(m?m?1)?(m?m?4)i(m?R),z2?3?2i则m?1是z1?z2的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
本题简介：本题主要考查复数相等的充要条件，考查充要、充分不必要、必要不充分等等条件的判断方法.
分析：先求出z1?z2的充要条件，再判定m?1与充要条件的关系.
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?m2?m?1?3?2m?m?4??2解：由?解得m??2或m?1，所以m?1是z1?z2的充分条件.选A.
反思：判断（或）求充分条件或必要条件时，一般都需先求出充要条件，再利用条件对应集合之间的包含关系，来确定所给条件是什么条件.
【专题突破】
a?i1.（08浙江卷理1）已知a是实数，1?i是春虚数，则a=
a1?i?2是实数，则a? 2.(08全国Ⅰ)设a是实数，且1?i
3. (08江西理) 在复平面内，复数z?sin2?icos2对应的点位于第 象限
考点2、复数的四则运算
1(i?)3i等于 4. (08湖南理)复数
z2?5.（07海南宁夏卷）已知复数z?1?i，则z?1
z6.（08山东卷理）设z的共轭复数是z，或z+z=4,z·z＝8，则z等于 1?i7.（08江苏卷3）1?i表示为a?bi(a,b?R)，则a?b= 。
8.（08上海卷文7）若复数z满足z?i(2?z) (i是虚数单位)，则z= ． 9. （08宁夏、海南卷）i是虚数单位，i?2i?3i?（用a?bi的形式表示，a，b?R）
考点3、复数的几何意义
23?8i8? ．
y10. 虚数（x－2）+ yi其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，x的取值范围是
11. 已知在复平面内，定点M与复数m?1?2i对应，动点Z与复数z?x?yi对应，那么满足
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z?m?2不等式的点的集合表示的图形是
12. 已知复数z1?1?i,|z2|?3，那么|z1?z2|的最大值是 。 【专题突破】参考答案
a?i(a?i)(1?i)a?1a?1a?1a?1???i?0?0,1?i(1?i)(1?i)22221. 答案：由是纯虚数，则且故a=1.
评析：本题主要考查复数的概念，注意纯虚数一定要使虚部不为0。
a1?ia(1?i)1?i(a?1)?(1?a)i???1?i22222.答案：设a是实数，=是实数，则a?1
3.答案：因sin2?0,cos2?0所以z?sin2?icos2对应的点在第四象限。 评析：本题考查复数的几何意义，每一个复数在复平面内都有一个点与之对应。
1?2i(i?)3?()3??8?4??8iiii 4.答案：由,易知D正确.
?1?i???2i?2z2?5.答案：将z?1?i代入得z?11?i?1?i，选Ａ
zz2?2?2i?????i.24?b?8,b??2.z?2?biz?z?8z886.答案：可设，由得
评析：本题考查共轭复数概念、复数的运算，不能依据共轭复数条件设z?2?bi简化运算。
221?i?i,?a?0,b?17. 答案：1?i，因此a?b=1。
z?i(2?z)?z?8.答案：由
9. 答案：i?2i?3i?232i2i(1?i)??1?i1?i(1?i)(1?i).
?8i8?i-2-3i+4+5i-6+7i+8=4-4i.
评析：考查复数的基本概念和运算
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?(x?2)2?y2?1y?y?010.答案： ∵?, 设k =x,则k为过圆（x－2）2 + y2 = 1上点及原点的直线斜
1率，作图如下, k≤
3?3y3[?03, 又∵y≠0 ,∴k≠0.由对称性，x的取值范围是3∪
（
03]3．
评析：本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0，这一易错点. 11. 以(1,2)为圆心，2为半径的圆面（包括边界） 12. 3?2
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