解析几何七种常规题型及方法
常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面
一、一般弦长计算问题：
6x2y2xy例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，且e?，
3abab过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度. 思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a2?b2?8，………① 6c22 又e?，即2?，所以a2?3b2………………………….② 3a3x2y2?1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为?6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x2?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?186,x1x2? 55?4x1x2?26， 5?x1?x2?2由弦长公式，得AB?1?kx1?x2?1?46 52?3?2?2646?， 55即弦AB的长度为点评：本题抓住l1的特点简便地得出方程①，再根据e得方程②，从而求得待定系数a2,b2，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题：
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
y2 典型例题 给定双曲线x?过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2?1。
22的中点P的轨迹方程。
2y12y22 分析：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x??1，x2??1。
2221 两式相减得 1 (x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0。 2 又设中点P（x,y），将x1?x2?2x，y1?y2?2y代入，当x1?x2时得 2x?y?y22y·1?0。 2x1?x2y1?y2y?1， ?x1?x2x?2 又k? 代入得2x2?y2?4x?y?0。 当弦P1P2斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2x2?y2?4x?y?0 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 例2、过点P?4,1?作抛物线y2?8x的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率k，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为A?x1,y1?,B?x2,y2?， 2?8x2，两式相减，得?y1?y2??y1?y2??8?x1?x2? 则有y12?8x1,y2又x1?x2?8,y1?y2?2 则k?y2?y1?4，所以所求直线AB的方程为y?1?4?x?4?，即4x?y?15?0. x2?x1解法2：设AB所在的直线方程为y?k?x?4??1 ??y?k?x?4??1 由?2，整理得ky2?8y?32k?8?0.
??y?8x 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由韦达定理得y1?y2?8， k 又∵P是AB的中点，∴
y1?y28?1，∴?2?k?4 2k所以所求直线AB的方程为4x?y?15?0.
?4x?y?15?0由?2 整理得，y2?2y?30?0，则y1?y2?2,y1y2??30 ?y?8x有弦长公式得，AB?1?k12y1?y2?1?k12??y1?y2?2?4y1y2?527. 2点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为： y?3?x?2?， ?y?3?x?2??代入椭圆C的方程?x2y2，化简得，5x2?18x?6?0 ?1??2?6由韦达定理知，x1?x2?186,x1x2? 5546. 5由l2过右焦点，有焦半径公式的弦长为AB?2a?e?x1?x2??46 5 即弦AB的长度为点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程. 弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式
|AB|?1?k2|x1?x2|?1?k2?/a就能解决问题。但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。 一、两线段相等 类型I 有相同端点的不共线线段 例1、（2204，北京西城区二模） 已知定点A(?2,?4)，过点A做倾斜角为45?的直线L，交抛物线y2?2px(p?0)于A、B两点，
|BC|、|AC|成等比数列 且|AB|、（1）求抛物线方程；
（2）问（1）中抛物线上是否存在D，使得|DB|?|DC|成立？若存在，求出D的坐标。
策略分析：由于D、B、C三点不共线，要使得|DB|?|DC|成立，只需取BC中点P，满足DP?BC。 由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习： 例2、（2005，孝感二模）
?????? 已知a?(x,0),b?(1,y),(a?2b)?(a?2b) （1）求点P(x,y)的轨迹方程C；
（2）若直线L：y?kx?b（k?0）与曲线C交与AB两点，D(0,－1)，且有|AD|?|BD|，试求b的取值范围。 类型II 共线线段 例3、直线L与x轴不垂直，与抛物线y2?x?2交于AB两点，与椭圆x2?2y2?2交于CD两点，与x轴交于点M(x0,0)，且|AC|?|BD|，求x0的取值范围。 策略分析：不妨设A(x1,y1)在B(x2,y2)下方，C(x3,y3)在D(x4,y4)下方，由于ABCD共线，要使|AC|?|BD|,只需x3?x1?x2?x4，即x1?x2?x3?x4，结合韦达定理可得结果。 二、三线段相等 类型I 正三角形 例 4、（2003，北京春招） 已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L：x=－1相切，点C在L上 （1）求动圆圆心的轨迹M的方程； （2）设过点P且斜率为?3的直线与曲线M相交于AB两点 ①问三角形ABC能否为正三角形？若能，求点C坐标；若不能，说明理由； ②问三角形ABC能否为钝角三角形？若能，求点C纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。 策略分析：对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。所以，只需设C（－1，y），根据|BC|?|AB|和|AC|?|AB|分别列方程求y值，判断两个y值是否相等。 例5、（2005，学海大联考六） 如图，在直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y)(y?0)，设AP,OP,BP，与x轴正方向的夹角分别为???，且??????? (1)求点P的轨迹G的方程； (2)设过点C(0,?1)的直线L与轨迹G交于 不同的两点MN，问在x轴上是否存在一点 E(x0,0)使?MNE为正三角形？
策略分析：设直线L：y=kx-1，由韦达定理求出MN中点F的坐标，再根据kEF?kMN??1，求出
E(3?4k|MN|?|EF|解得k??3。注意代入?验证。 ；利用弦长公式求出｜MN｜，再根据,0)223?k类型II 共线线段
例6、（2004，广东高考卷）
x2y2??1相交于AB两点，?又与双曲线x2?y2?1相交于CD两点，CD三等分设直线?与椭圆
2516线段AB，求?的方程。 策略分析：实质是|AC|?|CD|?|DB|。当?与x轴垂直时，?方程为x??25241；当?与x轴不垂直时，先由|AC|?|DB|，利用例3的方法，求得k?0或b?0，然后分类讨论求出ABCD的横坐标，利用AB?3CD，得出b??1616和k??。 1325三、线段成比例 类型I 两个已知点一个未知点 例7、（2005，黄冈调研） x2x2x2x2 已知椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，双曲线2?2?1的两条渐近线为L1,L2，过椭圆的abab右焦点F做直线L，使L?L1，又L与L2交于点P。设L与椭圆的两个交点由上到下依次为AB， （1）当L1与L2夹角为60?，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程； （2）当FA??AP时，求?的最大值。 策略分析：F点和P点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A点坐标，代入椭圆方程即可。 类型II 一个已知点两个未知点 例8、(2004，全国卷) x2 设双曲线C：2?y2?1（a>0）与直线L：x?y?1相交于两个不同的点AB a（1）求双曲线的离心率e的取值范围； 5PB，求a值。 （2）设直线L与y轴的交点为P，且PA?12策略分析：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(0,1)，由PA?x1x2?5PB知x1?5x2，于是，x1?x21212?17x2，1252x2，前式平方除以后式消掉x2，结合韦达定理即可求出a。 12注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB，且
PA??PB，其中，P(x0,y0)，则
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