专题09 一元二次方程及其应用
专题知识回顾
1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法
有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。
适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次； ⑤解一次方程。 （3）公式法。
2?b?b?4ac当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：x?的形式，这个式子叫做一元二次方
2a程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
?b?b2?4ac?b?b2?4ac，x2? x1?2a2a②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
x1?x2??b 2a③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.一元二次方程根与系数的关系
1
如果方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??2bc，x1x2?。也就是说，aa对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。
专题典型题考法及解析
【例题1】 (2019安徽)解方程：（x﹣1）2＝4．
【例题2】(2019山西）一元二次方程x?4x?1?0配方后可化为（ ） A.(x?2)?3 B.(x?2)?5 C.(x?2)?3 D.(x?2)?5
【例题3】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ． 【例题4】（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 ．
【例题5】（2019北京市） 关于x的方程x2?2x?2m?1?0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【例题6】（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ． 【例题7】 (2019安徽)据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（ ） A．2019年
一、选择题
B．2020年
C．2021年
D．2022年
22222专题典型训练题
1.( 2019甘肃省兰州市) x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ） A. －2 B. －3 C. 4 D. －6
2.（2019?湖南怀化）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（ ） A．x1＝1，x2＝﹣1
B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1
D．x1＝﹣1，x2＝2
3.（2019?浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（ ） A. (x-3)2=17 B. (x-3)2=14 C. （x-6)2=44 D. (x-3）2=1
4. （2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
2
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
5.(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ） A. 34
B.30
C.30或34
D.30或36
6.（2019?山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ） A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥
D．k≥且k≠2
7. （2019湖北仙桃）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A．12
B．10
C．4
D．﹣4
8. （2019?江苏泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1 、x2 则x1+x2等于（ ） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
9.（2019山东淄博）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ） A．x2﹣3x+2＝0
B．x2+3x﹣2＝0
C．x2+3x+2＝0
D．x2﹣3x﹣2＝0
10. （2019?广东）已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ） A．x1≠x2 B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1·x2=2
11.（2019?广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
12．（2019?浙江宁波）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝4 D．m＝5
13.（2019?黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．20% B．40% C．18%
D．36%
+
＝﹣，
14. （2019?湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ） A．9（1﹣2x）＝1 二、填空题
15. （2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ．
16. （2019吉林长春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为 .
17.（2019吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3)2=c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可） 18.（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
3
B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
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