“胡不归”与“阿氏圆”
背景：
初中几何常见考查线段最值问题，解决问题本质思想有两个： 在平面内 ①两点之间线段最短 ②垂线段最短
思想 两点之间线段最短 三角形三边关系 (三角形两大模型边的关系) 将军饮马大类 体现 费马点 平行线间垂线段最短 圆外一点与圆上点距离最值 垂径定理相关最值 阿氏圆
(三边关系)
若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为3、5，则d的最大值是_____
5d3垂线段最短 直角三角形斜边大于直角边 将军饮马特例 胡不归
(斜边大于直角边)
如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分
别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角PBD，求CD的最小值
(费马点)
已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2?6，求此正方形的边长
(圆外一点与圆上点距离最值)
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′C长度的最小值
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值
(将军饮马特例)
如图，在锐角△ABC中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则求BM+MN的最小值.
(垂径定理相关最值)
如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=3，P为⊙O上一点， 当∠OPA取最大值时，PA的长等于____.
答案：4；5；2；7?1；4；42；6
BUT以上专题不作为我们今天的主题，TODAY WE STUDY : “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我
们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。 点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
胡不归
前景引入：
从前，有一个小伙子在外地读书，当他获悉在家的老父亲病危
的消息后，便立即启程赶路。由于着急的不行，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归胡不归…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家倘若可以，他应该选择一条
怎样的路线呢这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
中考数学专题复习--“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)-学案
