一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG. (1) 求证：EG=CG；
(2) 将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45°,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3) 将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
【答案】解：（1）CG=EG
（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．
证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．
在△DMG与△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN． 在Rt△AMG 与Rt△ENG中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG
∴ EG=CG．
（3）（1）中的结论仍然成立．
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG． （2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG． （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG; 试题解析：
解：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点， ∴
，
，
同理，在Rt△DEF中，∴CG=EG；
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；
连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：
在△DAG与△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG，
在△DMG与△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG， ∴MG=NG，
在矩形AENM中，AM=EN.，
在Rt△AMG与Rt△ENG中， ∵AM=EN，MG=NG， ∴△AMG≌△ENG， ∴AG=EG， ∴EG=CG，
（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，如图所示：
由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC ∵∠FEC+∠BEC=90°，
∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°， ∴△MEC是等腰直角三角形， ∵G为CM中点， ∴EG=CG，EG⊥CG。
【点睛】本题解题关键是作出辅助线，且利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质，难度较大。
2．如图l，在AABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.
(1)连接PB，PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.
①依题意，请在图2中补全图形； ②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长 (2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.
【答案】（1）①补图见解析；②【解析】
；（2）
（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长； （2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题. 解：（1）①补全图形如图所示；
②如图，连接BD、CD
∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE， ∴BC∥AD且BC=AD， ∵∠ACB=90°，
∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6， ∵BP=3，∴DE=BP=3，
∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE， ∴在Rt△DCE中，（2）证明：如图所示，
；
当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小 由旋转可得，△AMN≌△APB， ∴PB=MN
易得△APM、△ABN都是等边三角形， ∴PA=PM
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN， ∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60° ∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°， ∴∠CBN=90° 在Rt△ABC中，易得∴在Rt△BCN中，
“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.
3．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG． 【解析】
试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=FG∥BE，即可推出答案；
（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案； （3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案． 试题解析：
11AD，FH∥AD，FG=BE，22
中考数学压轴题专题旋转的经典综合题含答案
