江苏省扬州中学 2018— 2018 学年第二学期期中考试
高二数学试卷（理科）
2018.4
本卷满分： 160 分考试时间： 120 分钟
一、填空题：每题 5 分， 14 小题，满分 1．已知全集U
70 分
Z ,集合M
x 2 x
x2
0 , x , Z N
1,0,1,2 , 则
CU M N
．
2．命题“若 x 1，则 x 2
4x 2 1 ”的否命题为．
．
3．设复数 z 满足 1 4．设 x
i z 2i , 则 z
1 ”是“ x x
R ，则“ x
2 0 ”的条件 . （填“充分必要” 、“充分不必要” 、“必
要不充分”、“既不充分也不必要” ） 5．从 5 本不同的故事书和 4 本不同的数学书中选出
4 本，送给 4 位同学，每人
.
1 本，若故事
书甲和数学书乙必须送出，共有种不同的送法（用数字作答） 6． x
3
1
7
x
7．若方程 x2
的展开式中 x5 的系数是．
k 2 x 2k 1 0 有两个实数根， 一根在区间 0,1 内，另一根在区间 1,2 内，
则实数 k 的取值范围．
8．函数 f ( x) | x2 x t | 在区间 [ 1,2] 上的最大值为 4，则实数 t ． 9．已知三角形的三边分别为
a, b,c ，内切圆的半径为 r ，则三角形的面积为 s
1 a
2
b c r ；
四面体的四个面的面积分别为 体的体积为． 10．已知 f 使得 f
s1 , s2 , s3 , s4 ，内切球的半径为 R ．类比三角形的面积可得四
面
x 是奇函数 f x 的导函数， 0 成立的 x 的取值范围是．
lg3 lg 4 lg 2 lg3
3
f
1
0 ，当 x
0 时， xf
x f x
0 ，则
x
11．已知 an log n 1 (n 2) （ n
N * ），观察下列算式：
2 ；
a1 a2 log 2 3 log 3 4
a a a a a a
1 2 3 4
log 3 log 4? log 8
2
5 6
7
lg3 lg 4 ? lg8 3 ； 若 lg 2 lg3 lg 7
a a ? a
1 2
2016
m
（ m N * ），则 m 的值为． 12．定义区间
x1 , x2 长度为 x2 x1 ( x2 x1 ) ，已知函数
f (x)
a 2
a 的值为． 13．已知 f x 是以 2e 为周期的 R 上的奇函数， 当 x
关于 x 的方程 f x
kx
a x a 2 x
1
(a R, a
0) 的定义域与值域都是
m,n ，则区间
m, n 取最大长度时
0,e ， f ( x) ln x ，若在区间
e,2e ，
1恰好有 4 个不同的解，则 k 的取值集合是． f ( x)
x(
a
14．已知 a为常数，函数
x2 a
1
1 x2 )
的最大值为 1，则 a 的所有值为．
二、解答题： 6 小题，满分 90 分 .
15. （本小题满分 14 分）
（ 1）计算：
3 i ； 2 4i
（ 2）在复平面内，复数 z m 2 围．
16. （本小题满分 14 分） 已知 a
m2 m 2 i 对应的点在第一象限，求实数
m 的取值范
R ，命题 p：“ x 1,2 , x2 a 0 ”，命题 q：“ x R, x2 2ax 2 a 0 ”．
（ 1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；
（ 2）若命题“ p∨ q”为真命题，命题“ p∧ q”为假命题，求实数 a 的取值范围． 17. （本小题满分 15 分） 已知函数 f ( x) x x a （ 1）当 a 围 .
18. （本小题满分 15 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，
2x ．
3 时，方程 f ( x) m 的解的个数；
（ 2）对任意 x [1, 2] 时，函数 f ( x) 的图象恒在函数 g( x) 2x 1图象的下方，求 a 的取值范
AB BC 2 AA1， ABC
900 , D 是 BC 的中点．
（ 1）求证： A1B∥平面 ADC1；
（ 2）试问线段 A1 B1 上是否存在点 E ，使 AE与 DC1 成 600 角？若存在， 确定 E 点位置；若不存在，说明理由． 19. （本小题满分 16 分）
已知各项均为正数的数列
{ an } 的前 n 项和 Sn 满足： an Sn
1
an2 an 1.
（ 1）求 a1,a2 , a3 ；
（ 2）猜想 { an } 的通项公式，并用数学归纳法证明． 20. （本小题满分 16 分） 已知函数 f ( x) x2
1
2
ax a 1, g( x) ln x,( a R) ．
y
f ( x) g( x)
（ ）当 a 1时，求函数 （ 2）若存在与函数
的单调区间；
f (x), g (x) 的图象都相切的直线，求实数
a 的取值范围．
命题人：王祥富、徐孝慧审核人：江金彪
理科答案： 1 、
1,2 2
、若 x 1 ，则
x
2
4 x 2
13
、
2 4
、充分不必要条件
5、 504
6 、 35
7 、 1
k
2 8、 t
2
或
t
15 4
2
3
9、
V1
s1 s2 s3 s4 R 10、
11、
2016
3
1,0 1,
2
2
12、 3
13.
1
,
1 14.
a
3
5
e 2e
2
15、（ 1）
；
1 1 i 2 2
（ 2） m 16．（ 1）
2, 1 ,1
；
2,
（ 2） a 1或 2 a
17． (1)当 a=3 时， f ( x)
1
.
x2 x, x 5x
3 ，
x2 , x 3
当 m 6 或 当 m
25
时，方程有两个解；
4
6 或 m
25 4
时，方程一个解；
当 6 m
25
4
时，方程有三个解 .
(2) 由题意知 f ( x)
g( x) 恒成立，即 x | x a | 1 在 x∈ [1,2] 上恒成立， | x a | 在 x∈ [1,2] 上
1
x
恒成立
x 1 a x
x
18． (1)证明 的中点．
1
x
在 x∈ [1,2] 上恒成立，∴
3
a
2
2
连结 A1C，交 AC1 于点 O，连结 OD .
ACC1 A1 为矩形， O 为 A1C
由 ABC － A1B1 C1 是直三棱柱，得四边形
又D为BC的中点，
所以 OD 为 △ A1BC 的中位线，所以 A1B ∥ OD.
因为 OD? 平面 ADC1 ， A1B ?平面 ADC1 ， 所以 A1B∥ 平面 ADC 1.（ 7 分） (2) 解 假设存在满足条件的点
E.[来源 :Z_xx_k.Com]
因为点 E 在线段 A1B1 上， A1(0,2,1) ， B1(0,0,1) ，故可设 E(0， λ， 1)，其中 0≤λ≤2.
→
→
所以 AE＝ (0， λ－ 2,1)， DC 1＝ (1,0,1) ． 因为 AE 与 DC 1 成 60°角，
→
→
1
所以 |cos〈 AE， DC
〉 |＝
|AE ·DC 1|
→ →
即
1 λ－ 2
＝ ，解得 λ＝1 或 λ＝ 3(舍去 )．
21
→ →
|AE| |DC·1|
＝ ，
1
2
＋1· 2 2
所以当点 E 为线段 A1B1 的中点时， AE 与 DC1 成 60°角．（8 分）
江苏省扬州中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)含答案
