21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程. 教学目标
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
2
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然
2
后知识迁移到解a(ex+f)+c=0型的一元二次方程. 教学重难点
重点:运用开平方法解形如(x+m)=n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想.
2
难点:通过根据平方根的意义解形如x=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如2
(x+m)=n(n≥0)的方程. 教学过程
一、教师导学
学生活动:请同学们完成下列各题 问题1.填空
22
(1)x-8x+ =(x- );
22
(2)9x+12x+ =(3x+ );
(3)x+px+ =(x+ ).
问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B
2
点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm?
2
22
老师点评:
问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)() 问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm 则PB=x,BQ=2x
2
2
.
依题意,得:x·2x=8
1
x=8
根据平方根的意义,得x=±2即x1=2
,x2=-2
2
可以验证,2所以2
和-2都是方程
2
x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
秒后△PBQ的面积等于8cm.
二、合作与探究
上面我们已经讲了x=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2即(2t+1)=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2即2t1+1=2
,2t2+1=-2
2
2
,如果x换元为2t+1,
方程的两根为t1=
2
-,t2=--
【例1】解方程:x+4x+4=1
22
分析:很清楚,x+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)=1.
2
解:由已知,得:(x+2)=1 直接开平方,得:x+2=±1 即x1+2=1,x2+2=-1
所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
22
【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);
2
二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)
解:设每年人均住房面积增长率为x, 则:10(1+x)=14.4 (1+x)=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2 即1+x1=1.2,1+x2=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
2
2
2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,即“降次转化思想”. 三、巩固练习 教材P6 练习. 四、能力展示
某公司一月份营业额为2万元,第一季度总营业额为6.62万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
五、总结提升 本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x=p(p≥0),那么x=±(mx+n)=p(p≥0),那么mx+n=±
六、布置作业
教材P16 习题21.2 1、2.
第2课时 配方法
教学内容
通过变形运用开平方法降次解方程. 教学目标
理解通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
22
通过复习可直接化成x=p(p≥0)或(mx+n)=p(p≥0)的一元二次方程的解和不能直接化成上面两种形式的解题步骤. 教学重难点
重点:讲清“直接降次有困难,如x+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤”.
难点:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧. 教学过程
一、教师导学
(学生活动)请同学们解下列方程
22
(1)3x-1=5 (2)4(x-1)-9=0
2
(3)4x+16x+16=9
22
老师点评:上面的方程都能化成x=p或(mx+n)=p(p≥0)的形式,那么可得 x=±
2
2
2
2
转化为应用直接开平方法解形如
,达到降次转化之目的.
或mx+n=±(p≥0).
2
如:4x+16x+16=(2x+4) 二、合作与探究
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
3
(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?
问题:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互
2
垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m,道路的宽为多少?
解:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500 整理,得:x-36x+70=0
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后一个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程
2
【例1】解方程:x-36x+70=0.
2222
老师点评:x-36x=-70,x-36x+18=-70+324,(x-18)=254, x-18=±
,x1-18=
或x2-18=-,x1≈34,x2≈2.
2
可以验证x1≈34,x2≈2都是原方程的根,但x≈34不合题意,所以道路的宽应为2. 【例2】解下列关于x的方程 2
2x-4x-1=0
解:x-2x-
2
=0 x-2x=
2
x-2x+1=
22
+1 (x-1)=
2
x-1=±即x1-1=,x2-1=-
x1=1+
,x2=1-
4
可以验证:x1=1+,x2=1-都是方程的根.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法. 三、巩固练习
教材P9 练习1 2.(1)、(2). 四、能力展示
如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,BC=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
五、总结提升 本节课应掌握:
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤. 六、布置作业
教材P17 习题21.2 3.
21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
教学内容
一元二次方程根的判别式,即Δ=b-4ac. 教学目标
1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况;
2.会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围. 教学重难点
1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围; 2.运用判别式判别一元二次方程根的情况. 教学过程
一、教师导学
22
对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,我们知道Δ=b-4ac.当Δ>0时,方程有两个不等的实数根;Δ=0时,方程有两个相等的实数根;Δ<0时,方程没有实数根,此结论反之也成立.
2
如果说方程有实数根,切记此时b-4ac≥0,切勿丢掉等号. 二、合作探究
了解了上述判别规律,我们来进行以下探究: 探究一:不解一元二次方程,判断根的情况
2
【例1】不解方程,判断x-2x+3=0的根的情况.
2
5
九年级数学上册 21.2 解一元二次方程教案 (新版)新人教版
