2003年全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ） A．
B．
C．y＝﹣2x D．y＝2x
2．（5分）已知x∈（ ，0），cosx ，则tan2x等于（ ） A．
2
B．
C．
D．
3．（5分）抛物线y＝ax的准线方程是y＝2，则a的值为（ ） A．
B．
C．8 D．﹣8
4．（5分）等差数列{an}中，已知a1 ，a2+a5＝4，an＝33，则n为（ ） A．48
B．49
C．50
D．51
5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ） A． B．
C．
D．
f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ） 6．（5分）设函数 若
＞ A．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
5
B．（﹣1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
7．（5分）已知f（x）＝lgx，则f（2）＝（ ） A．lg2
B．lg32
C．
D．
8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ） A．0
B．
C．
D．π
9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ） A． B．
C．
D．
10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为 ，该圆柱的全面积为（ ） A．2πR
2
B．
C．
D．
11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点
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从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ） A．
B．
C．
D．1
12．（5分）棱长都为 的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A．3π
B．4π
C．3
D．6π
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）不等式 ＜ 的解集是 ． 14．（4分）在
3
的展开式中，x的系数是 （用数字作答） 2
2
15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC
2
＝BC”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ．”
16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离．
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18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|． 19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝3（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明 ．
n﹣1
+an﹣1（n≥2）．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）． （1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间 ， 上的图象．
21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向
移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
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22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图），
问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．
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2003年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ） A．
B．
C．y＝﹣2x D．y＝2x
【解答】解：∵直线y＝f（x）关于x对称的直线方程为y＝﹣f（x）， ∴直线y＝2x关于x对称的直线方程为： y＝﹣2x． 故选：C．
2．（5分）已知x∈（ ，0），cosx ，则tan2x等于（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵cosx ，x∈（ ，0）， ∴sinx ．∴tanx ．
∴tan2x ．
故选：D．
3．（5分）抛物线y＝ax的准线方程是y＝2，则a的值为（ ） A．
2
B．
2
2
C．8
D．﹣8
【解答】解：抛物线y＝ax的标准方程是x y， 则其准线方程为y 所以a ． 故选：B．
4．（5分）等差数列{an}中，已知a1 ，a2+a5＝4，an＝33，则n为（ ） A．48
B．49
C．50
D．51
2， 【解答】解：设{an}的公差为d， ∵ ，a2+a5＝4，
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