概率论
曹显兵
第一讲 随机事件与概率
考试要求
1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.
2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.
3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型
1．试验，样本空间与事件.
2．古典概型：设样本空间?为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则
P(A)?则
P(A)?A的度量（长度、面积、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）
A中有利事件数
基本事件总数3．几何概型：设?为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，
【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试
求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率.
（1） 一次取3个；
（2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回.
【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于
一、 事件的关系与概率的性质
3. 161. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A与B互斥（互不相容） ? AB??
（2） A与B 互逆（对立事件） ? AB??,A?B?? （3） A与B相互独立? P（AB）=P（A）P（B）.
? P（B|A）=P（B） （P（A）>0）.
?P(B|A)?P(B|A)?1 （0 ?P（B|A） =P（B|A） （ 0 < P（A） < 1 ） 注: 若（0 ? P(A|B)?P(A|B)?1（0 （4） A, B, C两两独立 ? P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）. （5） A, B, C相互独立 ? P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）; P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 2. 重要公式 （1） P(A)?1?P(A) （2） P(A?B)?P(A)?P(AB) （3） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) （4） 若A1, A2,…,An两两互斥, 则P(?Ai)??P(Ai). i?1i?1nn（5） 若A1,A2, …, An相互独立, 则 P(?Ai)?1??P(Ai)?1??[1?P(Ai)]. i?1i?1nnni?1P(?Ai)??P(Ai). i?1i?1nn（6） 条件概率公式: P(B|A)?P(AB) （P（A）>0） P(A)【例3】 已知（A＋B）（A?B）＋A?B?A?B＝C, 且P（ C ）＝, 试求P（B ）. 【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C满足条件: ABC＝Φ, P（A）＝P（B） ＝P（C）<,且已知P(ABC)?129, 则P（A）＝ . 1613【例5】 设三个事件A、B、C满足P（AB）＝P（ABC）, 且0 （A）P（AB|C）＝P（A|C）+ P（B|C）. （B）P（AB|C）＝P（AB）. （C）P（AB|C）＝P（A|C）+ P（B|C）. （D）P（AB|C）＝P（AB）. 【例6】 设事件A, B, C满足条件: P（AB）＝P（AC）＝P（BC）?, P（ABC）＝ 1, 则事件A, B, C中至多一个发生的概率为 . 1618【例7】 设事件A, B满足 P（B| A）＝1则 【 】 （A） A 为必然事件. （B） P（B|A）=0. （C） A?B. （D） A?B. 【例8】 设A, B, C为三个相互独立的事件, 且0 （A） A?B与C . （B） AC与C （C ） A?B与C （D） AB与C 【例9】 设A，B为任意两个事件，试证 P（A）P（B）－P（AB） ≤ P（A－B） P（B－A） ≤ . 三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式 1． 乘法公式： P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A2)P(A1|A2).P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(An|A1A2?An?1).14 2． 全概率公式： P(B)??P(B|Ai)P(Ai), AiAj??,i?j, Ai??. i?1i?1??3．Bayes公式： P(Aj|B)?P(B|Aj)P(Aj)?P(B|A)P(A)iii?1?, AiAj??,i?j, Ai??. i?1?4．二项概率公式: kkPn(k)?CnP(1?P)n?k, k?0,1,2,,n., 【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品, 试求另一件也为次品的概率. 【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回. 试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品; （2） 第三次才取得次品; （3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4） 不超过三次取到次品; 【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种 情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率. （1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次. 【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名 表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p; (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q . 第二讲 随机变量及其分布 考试要求 1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（F(x)?P(X?x)） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率. 2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用. 3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布. 4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(?,?2)、指数分布及其应用，其中参数为?(??0)的指数分布的概率密度为 f(x)????e??x,x?0,?0,x?0. 5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数 1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2．分布函数：F(x)?P(X≤ x),??＜x＜?? F（x）为分布函数 ?（1） 0≤F（x） ≤1 （2） F（x）单调不减 （3） 右连续F（x+0）=F（x） （4） F(??)?0,F(??)?1 3．离散型随机变量与连续型随机变量 （1） 离散型随机变量 P(X?xi)?pi,i?1,2,?,n,?pi≥ 0,??pi?1 i?1分布函数为阶梯跳跃函数. （2） 连续型随机变量 F(x)??x f(t)dt?? f（x）为概率密度 ? （1） f（x）≥0, （2） ???? ?f（x） P(a?X?b)?P(a?X?b)??baf(x) 4．几点注意 【 例1 】 设随机变量X的分布函数为 dx?1 0,x??1,??57 F(x)???x?,?1?x?1, 16?161,x?1.??则P(X2?1)? . 【 例2 】 设随机变量X 的密度函数为 f （x）, 且 f （－x） = f （x）, 记 FX(x)和F?X(x)分别是X 和?X的分布函数, 则对任意实数x 有 【 】 （A）F?X(x)?FX(x). （B）F?X(x)?FX(?x). （C）F?X(x)?1?FX(x). （D）F?X(x)?2FX(x)?1. 【 例3 】 设 随机变量X 服从参数为??0的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X, 2 } 的分布函数 【 例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立 每个元件正常工作时间服从参数为 ??0的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布. 【 例5】设随机变量X的概率密度为 f(x)???1?|x|,|x|?1, 其他.?0,14试求（1） X的分布函数F(x); （2）概率P(?2?X?). 二、 常见的一维分布 （1） 0-1分布：P(X?k)?pk(1?p)1?k, k?0,1. （2） 二项分布B(n,p): P(X?k)?Cnkpk(1?p)n?k, k?0,1,?,n. （3） Poisson分布P(?)：P(X?k)??kk!e??, ?＞0, k?0,1,2,?. ?1?，a＜x＜b,U(a,b): f(x)??b?a（4） 均匀分布 ?其他.?０，（5） 正态分布N（μ，σ2）： f(x)?12π?e?(x??)22?2, ??0, ??????? ??e??x,x＞0,（6） 指数分布E(?): f(x)?? ?＞0. 0, 其他.?0＜p＜1, k?1,2,?. （7） 几何分布G(p): P(X?k)?(1?p)k?1p, kn?kCMCN?M（8） 超几何分布H（N,M,n）: P(X?k)?, k?0,1,?,min{n,M}. nCN【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p（0 （C） 3p2(1?p)2. （D） 6p2(1?p)2. 【例7】 设X ～Ｎ （?, σ2）, 则 P （ X ?1＋?） 【 】 （A） 随μ的增大而增大 . （B） 随?的增大而减小. （C） 随σ的增大而不变 . （D） 随σ的增大而减小. 【例8】 设X ～Ｎ （?, σ2）, F(x)为其分布函数，??0，则对于任意实数a， 有 【 】 （A） F(?a)?F(a)?1. （B） F(?a)?F(a)?1. （C） F(?a)?F(a)?1. （D） F(??a)?F(??a)?. 【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任 取一球交换放入另一袋中，试求交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率. 三、 随机变量函数的分布： 1. 离散的情形 2. 连续的情形 3. 一般的情形 【例10】 设随机变量X的概率密度为 ?1?2,?1?x?0,??1 fX(x)??,0?x?2,?4其他.?0,??12令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量（X, Y ）的分布函数. （Ⅰ） 求Y的概率密度fY(y); （Ⅱ） F(?,4). 第三讲 多维随机变量及其分布 12考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布 （1）一般二维随机变量 F （x, y）=P{ X ? x, Y ? y }, x? （??, +?）, y? （??, +?）的性质 F （x, y）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x, y）≤1 , ?x? （??, +?）,, y? （??, +?）; 2） F（??, y ）= F（x, ??）=0, F（+?,+?） =1; 3） F （x, y）关于x, y 均为单调不减函数； 4） F （x, y）关于x, y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 联合概率分布律 P{X = xi , Y = yj } = pi j , i, j =1, 2 ,??? , pi j 0, ??pijij?1. 边缘分布律 pi = P{X = xi }=?pij, i =1, 2 ,??? , jp j = P{ Y = yj }=?pij, j =1, 2 ,??? , i条件分布律 P{X = xi |Y = yj } = pijp?j, P{ Y = yj | X = xi } = pijpi?. 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f（x, y）为联合概率密度 ? 1? f（x, y）≥0, 2? ??????f(x,y)dxdy ?1. 设（ X, Y）~ f（x, y）则 分布函数: F(x,y)??x?????????yf(x,y)dxdy ; ??边缘概率密度: fX(x)????f(x,y)dy , fY(x)????f(x,y)dx . 条件概率密度: fX|Y(x|y)?f(x,y)f(x,y), fY|X(y|x)?. fY(y)fX(x)??P{(X,Y)?D}???f(x,y)dxdy D?2F(x,y)f(x,y)?. ?x?y2. 随机变量的独立性和相关性 X和Y相互独立 ? F （x, y）= FX （x）F Y （y）; ? pi j = pi 【注】 1立. p j （离散型） ? f （x, y）= f X （x）f Y （y） （连续型） X与Y独立, f （x）, g （x）为连续函数 f （X）与g （Y）也独 2 若X1, ????, Xm, Y1, ????, Yn相互独立, f , g分别为m 元与 n元连续函数 f （X1, ????, Xm）与g （Y1, ????, Yn）也独立. 3 常数与任何随机变量独立. 3. 常见的二维分布 （1）二维均匀分布 （X, Y ）~ U （D）, D为一平面区域. 联合概率密度为 ?1,(x,y)?D. ?f(x,y)??S(D)?其他.?0,（2）二维正态分布 （X, Y ）~ N （μ1 , μ2, ?12 ,?22, ）, ?? <μ1, μ2 < +?, ?1>0, ?2 > 0, | | <1. 联合概率密度为 12??1?21??2?(x,y)?e?(x??)22?(x??)(y??)(y??)21122????22?1?22(1??2)??1?2?1???? 性质: （ a ） X ~ N （μ1, ?12 ）, Y ~ N （μ2, ?22 ） （ b ） X与Y相互独立 ?X Y =0 , 即 X与Y不相关. （ c ） C1X+C2Y ~ N （C1 μ1+ C2 μ2, C12 ?12 + C22?22 +2C1C2 ?2 ?1 ?2 ）. （ d ） X关于Y=y的条件分布为正态分布: N[?1???1(y??2),?12(1??2)] 【 例1 】 设A，B为事件，且P（A）＝, P（B|A）＝, P（A|B）＝ 令 X＝??1,若A发生?1,若B发生, Y＝? ?0,否则?0,否则141212（1） 试求（X, Y）的联合分布律； （2）计算Cov（ X, Y ）； （3） 计算 Cov(2X2,4Y2?3). 【 例2 】设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. P{X?xi}?pi? y3 y2 y1 Y X 1x1 8x2 P{Y?yj}?p?j 1 81 6 1 【 例3 】设随机变量X与Y独立同分布, 且X的概率分布为 X 1 2 21 P 33 记U?max?X,Y?,V?min?X,Y?. （I）求（U, V）的概率分布; （II）求（U, V）的协方差Cov（U, V）. 【详解】（I）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且 P(U?1,V?1)?P(max?X,Y??1,min?X,Y??1}) ?P(X?1,Y?1)?P(X?1)P(Y?1)?4, 9P(U?1,V?2)?P(max?X,Y??1,min?X,Y??2})?0, P(U?2,V?1)?P(max?X,Y??2,min?X,Y??1}) ?P(X?2,Y?1)?P(X?1,Y?2) ?P(X?2)P(Y?1)?P(X?1)P(Y?2)?P(U?2,V?2)?P(max?X,Y??2,min?X,Y??2}) 4, 9?P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2)?1, 9故（U, V）的概率分布为: V 1 2 U 4 0 91 41 992 （II） E(UV)?1?1??0?2?1??2?2??而 E(U)?1??2??495949491916, 9148110, E(V)?1??2??. 99991614104???. 99981故 Cov(U,V)?E(UV)?E(U)E(V)?【 例4】 设随机变量X在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在X?x(0?x?1)的条件下,随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布, 求 （Ⅰ）随机变量X和Y的联合概率密度; （Ⅱ）Y的概率密度; （Ⅲ）概率P{X?Y?1}. 二、 二维（或两个）随机变量函数的分布 1．分布的可加性 （1）若X~B（m, p）, Y~B（n, p）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p）. （2）若X~P（λ1）, Y~P（λ2）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）. （3）若X~N（?1,?12）, Y~P（?2,?22）, 且X与Y相互独立，则 X+Y ~ N （?1??2,?12??22）. 一般地，若Xi~N（?i,?i2）, i=1, 2, …, n, 且X1，X2，…，Xn相互独立，则Y=C1X1+C2X2+…+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为 N(?C??C,?Ciii?1i?1nn22i?i), 其中C1，…，Cn为不全为零的常数. 2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】 设X与Y相互独立, 且X~P(1),Y~P(2), 则P{max(X,Y)?0}?______; P{min(X,Y)?0}?__________. 【 例6】 设X与Y相互独立, 其密度函数分别为: ?e?y,y?0,?1,0?x?1, fX(x)?? fY(x)?? 0,其他.??0,其他.求Z＝2X＋Y 的概率密度. 【 例7】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 f(x,y)??（I）求P?X?2Y?； ?2?x?y,0?x?1,0?y?1, 其它.?0,（II）求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度fZ(z). 【详解】（I）P?X?2Y??x?2y??f(x,y)dxdy??dy?(2?x?y)dx?2y12017. 24（II）方法一： 先求Z的分布函数: FZ(z)?P(X?Y?Z)?当z<0时, FZ(z)?0; 当0?z?1时, FZ(z)???f(x,y)dxdy??0dy?0(2?x?y)dx D1x?y?z??f(x,y)dxdy zz?y ?z2?z3； 当1?z?2时, FZ(z)?1???f(x,y)dxdy?1??z?1dy?z?y(2?x?y)dx D21311 ?1?(2?z)3； 当z?2时, FZ(z)?1. 故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度 ?2z?z2,0?z?1,?fZ(z)=FZ?(z)??(2?z)2,1?z?2, ?0,其他.?13方法二： fZ(z)????f(x,z?x)dx， ?2?x?(z?x),0?x?1,0?z?x?1, f(x,z?x)??0,其他.??2?z,0?x?1,x?z?1?x, ??其他.?0,??当z ≤0 或z ≥ 2时, fZ(z)?0; 当0?z?1时, fZ(z)??0(2?z)dx?z(2?z)； 当1?z?2时, fZ(z)??z?1(2?z)dx?(2?z)2； 故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度 1z?2z?z2,0?z?1,?fZ(z)??(z?2)2,1?z?2, ?0,其他.?【例8】 设随机变量X与Y相互独立, X有密度函数f （x）, Y的分布律为 P(Y?ai)?pi, i=1,2. 试求Z＝X＋Y 的概率分布. 第四讲 数字特征与极限定理 考试要求 1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征. 2．会根据随机变量X的概率分布求其函数g(X)的数学期望Eg(X)；会根据随机变量X和Y的联合概率分布求其函数g(X,Y)的数学期望Eg(X,Y). 3．了解切比雪夫不等式. 4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律） 5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 一、 数学期望与方差（标准差） 1. 定义（计算公式） 离散型 P?X?xi??pi, E(X)??xipi i 连续型 X~f(x), E(X)????xf(x)dx方差：D(X)?E(X?E(X))2?E(X2)??E(X)?2 标准差： D(X)?? , 2. 期望的性质： 1° E(C)?C,E(E(X))?E(X) 2° E(C1X?C2Y)?C1E(X)?C2E(Y) 3° 若X与Y独立，则E(XY)?E(X)E(Y) 4° ?E(XY)?2≤E(X2)E(Y2) 3. 方差的性质： 1° D(C)?0,D(E(X))?0,D(D(X))?0 2° X与Y相互独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y) 3° D(C1X?C2)?C12D(X) 4° 一般有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) ?D(X)?D(Y)?2?D(X)D(Y) 5°D(X)?E(X?C)2, C?E(X) 【例1】设试验成功的概率为3, 失败的概率为1, 独立重复试验直到成功两次为 44止. 试求试验次数的数学期望. 【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回. x?1?cos,0?x??,【例3】 设随机变量X的概率密度为f(x)??22 对X独立地重复观察 ?其他.?0,4次, 用Y表示观察值大于的次数, 求Y2的数学期望. 【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客 在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望. 二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 Y?g(X) 离散型：P{X?xi}?pi ， E(Y)?连续型：X~f(x) E(Y)?2、二维的情形 Z?g(X,Y) 离散型(X,Y)~P?X?xi,Y?yi??pij, E(Z)??????3?g(x)piii ?????g(x)f(x)dx ??g(x,y)pijijij 连续型(X,Y)~f(x,y), E(Z)???????g(x,y)f(x,y)dxdy 【例5】 设X与Y独立且均服从N （0，1），求Z＝X2?Y2 的数学期望与方差. 【例6】设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N （0，）, 试求Z＝｜X－Y｜的 12数学期望与方差. 三 、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念： 协方差 Cov(X,Y)?E?(X?E(X)(Y?E(Y))? 相关系数 ?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y) k阶原点矩 E(Xk) k阶中心矩 E?(X?E(X))k? 2、性质： 1° Cov(X,Y)?Cov(Y,X) 2° Cov(aX,bY)?abCov(X,Y) 3° Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y) 4° |?(X,Y)|?1 5° ?(X,Y)?1?P(Y?aX?b)?1 (a＞0) ?(X,Y)??1?P(Y?aX?b)?1 (a＜0) 3、下面5个条件互为充要条件： （1）?(X,Y)?0 （2）Cov(X,Y)?0 （3）E(XY)?E(X)E(Y) （4）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （5）D(X?Y)?D(X)?D(Y) 【例7】设X1,X2,?,Xn(n?2)为独立同分布的随机变量, X?1n?nXi, Yi?Xi?X,i?1,2,?,n. 求: i?1（I） Yi的方差D(Yi),i?1,2,?,n； （II） Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn); （III） P{Y1?Yn?0}. 四、极限定理 且均服从N(0,1), 记 1. 切比雪夫不等式 D(X)D(X)P|X?E(X)|? ??2,或P|X?E(X)| ??????2. 大数定律 3. Poisson定理 4. 中心极限定理 列维—林德伯格定理: 设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布, 且 E(Xi)??,D(Xi)??2, i?1,2,,n,， 则对任意正数x，有 1-t2edt 2?2?n?X?n????x?i?1i? limP??x?????n??n???????棣莫弗—拉普拉斯定理: 设?n~B(n,p),（即X1，X2，…，Xn，…相互独立, 同服从0一1分布） 则有 ??x??n?np?limP?x? n???????np(1?p)????1?t2edt. 2?2【例8】 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换. 【分析】 若X为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X，设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P（1000X≤x）≥0.999. 【详解】 设X为该日到银行领取本息的总人数，则X~B（500，0.4）所需支付现金为1000X，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元，则 P（1000 X≤x）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知： P(1000X?x)?P(X?x) 1000x???500?0.4?X?500?0.4?1000?P??? 500?0.4?0.6??500?0.4?0.6???X?200x?200000????? 200030??120?x?200000??????0.999??(3.1). ?200030?即 x?200000?3.1,得 x≥ 233958.798. 200030因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换. 第五讲 数理统计 考试要求 1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其 1中样本方差定义为S?n?12?i?1n(Xi?X)2. 2. 了解?2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算. 3. 了解正态总体的常用抽样分布. 4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数. 5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念. 6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法. 7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性. 8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间. 9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的 两类错误. 10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 一、样本与抽样分布 1. 总体、个体与简单随机样本: 2. 常用统计量: 1° 样本均值 X?1n2?i?1nXi 2° 样本方差 S?1n?1?i?1n(Xi?X)2 1n(Xi?X)2 3° 样本标准差: S??n?1i?11n4° 样本k阶原点矩 Ak??Xik,k?1,2,ni?1 1n5° 样本k阶中心矩 Bk??(Xi?X)k,k?1,2,ni?1 3．分位数 4. 重要抽样分布 （1）?2分布 （2） t分布 （3） F分布 5. 正态总体的常用抽样分布:设X1,X2,1nS?(Xi?X)2, 则 ?n?1i?121n,Xn为来自正态总体N(?,?)的样本, X??Xi, ni?12??2?X??（1） X~N??,?或~N(0,1). n??/n?（2） （3） ?(n?1)S2?22?1?2?i?1n(Xi?X)2~?2(n?1). 1?i?1n(Xi??)2~?2(n). n（4） X??~t(n?1). S222 （5） X与S相互独立, 且 E(X)??, E(S)??, D(X)??2n. 【例1】 设总体X~N(?,?2),设X1,X2,,Xn是来自总体X的一个样本, 且 1X?n?i?1nXi,2Sn??i?1n(Xi?X)22). ，求 E(X1Sn【例2】 设总体X~N(?,?2), 设X1,X2,,Xn是取自总体X的一个样本, 且 1X?n?i?1n1Xi,S?(Xi?X)2n?1i?12?n，则 D(S2)?_________. 1~________ 2X【例3】设随机变量X~t(n)(n?1),, 则 Y?【例4】 设总体X服从正态分布N(0,22), 而X1,X2,?,X15是来自总体X的简单随机样本, 求随机变量 2X12???X10 Y? 222(X11???X15)的分布. 【例5】 设总体X~N(?,?2), 设X1,X2,,Xn,Xn?1是来自总体X的一个样本, 且 1X?n?i?1n1Xi,(S)?n*2?(Xi?1ni?X)2，试求统计量 Xn?1?XS*n?1的分布. n?1二、参数估计 1. 矩估计 2. 最大似然估计 3. 区间估计 4. 估计量的评选标准 【例6】设总体X~U(?1,?2)，X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本，试求?1,?2的矩估计和最大似然估计. 【例7】设总体X的概率密度为 0?x?1,??,? f(x,?)??1??,1?x?2, ?0,其他.?其中?是未知参数(0???1), X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本, 记N为样本值 x1,x2,?,xn中小于1的个数, 求：（1）?的矩估计；（2） ?的最大似然估计. 【例8】设总体X的概率密度为 ?6x(??x),0?x??,3 f(x)?? ???0,其他.?X1,X2,?,Xn为来自 X的简单随机样本， （1） 求?的矩估计量??； （2） 判断?的无偏性; （3） 判断?的一致性. 三、假设检验 1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受. 2. 单个正态总体均值和方差的假设检验. 3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设H0为真，但拒绝了H0. 第二类错误；原假设H0为假，但接受到了H0.
概率论与数理统计讲义 曹显兵()
