正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
3
2
考点：函数模型的选择与应用． 专题：函数的性质及应用．
分析：（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
解答： 解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x＜30．
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）+1800， ∴当x=15时，S取最大值． （2）V=ah=2
2
2
x，h=（30﹣x），0＜
（﹣x+30x），V′=6
32
x，
由V′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈时，V′＜0； ∴当x=20时，包装盒容积V（cm）最大， 此时，
．
3
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．
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点评：考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．
22．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数． （1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＜0，且f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣2，求a的值； （3）当a=﹣1时，试证明：x|f（x）|＞lnx+x．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，求出最大值，利用f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣2，求a的值； （3）即要证明|f（x）|＞
，证明|f（x）|≥1，
＜1即可．
解答： （1）解：∵f（x）=ax+lnx， ∴f′（x）=
，…
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞）… 当a＜0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜﹣，令f′（x）＜0解得x＞﹣， 故f（x）的单调增区间为（0，﹣），f（x）的单调减区间为（﹣，+∞）… （2）解：由（1）知，
①当﹣≥e，即a≥﹣时，f（x）在（0，e]上单调递增， ∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0舍；…
②当0＜﹣＜e，即a＜﹣时，f（x）在（0，﹣）上递增，在（﹣，e）上递减， f（x）max=f（﹣）=﹣1+ln（﹣），令﹣1+ln（﹣）=﹣2，得a=﹣e … （3）证明：即要证明|f（x）|＞
，…
由（1）知当a=﹣1时，f（x）max=f（1）=﹣1，∴|f（x）|≥1，…
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又令φ（x）=，则φ′（x）=，…
故φ（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，…（13分） 故φ（x）≤φ（e）=即证明|f（x）|＞∴x|f（x）|＞lnx+x．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最大值，考查不等式的证明，正确求导，确定函数的最值是关键．
＜1…（14分） ，
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辽宁省沈阳二中高三数学上学期暑期检测试卷 文（含解析）
