8．现有四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x?|cosx|；④y=x?2的图象（部分）如图：
x
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②① 考点：函数的图象． 专题：函数的性质及应用．
分析：由条件利用函数的奇偶性和单调性、函数值的符号，函数的图象特征，得出结论． 解答： 解：由于①y=x?sinx；为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图满足条件． 由于②y=x?cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，且在（0，（
，π）上函数值为负数，
）上，函数值为正数，在
故第三个图满足条件．
由于③y=x?|cosx|为奇函数，它的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上，函数值为非负数，故四个图满足条件．
由于④y=x?2的在R上单调递增，故第二个图满足条件． 综上可得，按照从左到右图象对应的函数序号安排是①④②③， 故选：A．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性、函数值的符号，函数的图象特征，属于中档题．
9．已知函数f（x）=（1+cos2x）sinx，x∈R，则f（x）是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为
的奇函数
2
x
C．最小正周期为π的偶函数
- 11 -
D．最小正周期为的偶函数
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
分析：用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论． 解答： 解：∵f（x）=（1+cos2x）sinx=2cosxsinx=sin2x=故选D．
点评：通过应用公式进行恒等变形，在不断提高学生恒等变形能力的同时，让学生初步认识形式和内容的辩证关系．掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式，并运用这些公式以及三角函数的积化和差与和差化积等公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值，证明三角恒等式等．
10．已知函数f（x）=x+ax+bx+c，下列结论中错误的是( ) A．?xα∈R，f（xα）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减 D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0
考点：函数在某点取得极值的条件；命题的真假判断与应用． 专题：导数的综合应用．
分析：利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出． 解答： 解：f′（x）=3x+2ax+b．
（1）当△=4a﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下 x f′（x） f（x） 由表格可知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确． ②∵=
+f（x）
+x+ax+bx+c=
3
2
2
23
2
2
2
2
2
=，
（﹣∞，x1） x1 + 单调递增
0 极大值
（x1，x2） ﹣ 单调递减
x2 0 极小值
（x2，+∞） + 单调递增
﹣+2c，
- 12 -
=
∵∴点P
+f（x）=
，
为对称中心，故B正确．
，
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．
④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?xα∈R，f（xα）=0，故A正确． （2）当△≤0时，
极值点，故D正确，C不正确； ②B同（1）中②正确；
③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?xα∈R，f（xα）=0，故A正确． 综上可知：错误的结论是C． 由于该题选择错误的，故选：C．
点评：熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．
11．若logxy=﹣2，则x+y的最小值为( ) A．
，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在
B．
C．D．
考点：基本不等式． 专题：计算题．
分析：先根据logxy=﹣2得到x与y的关系，再代入到x+y中得到x+y=x+x=基本不等式可得到最后答案．
- 13 -
﹣2
+x，再由
﹣2
解答： 解：∵logxy=﹣2∴y=x ∴x+y=x+x=
﹣2
﹣2
+x≥3
﹣2
=
当且仅当，即x=时等号成立
即最小值等于故选A．
点评：本题主要考查对数函数的指对互换和基本不等式的应用．基本不等式在解决函数最值中应用比较广泛，平时要注意这方面的练习．
12．已知函数f（x）=ax﹣3x+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( ) A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）
考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理． 专题：综合题；导数的概念及应用．
分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可． 解答： 解：当a=0时，f（x）=﹣3x+1=0，解得x=±题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）=3ax﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下： x f′（x） f（x）
（﹣∞，0） 0 + 单调递增
0 极大值
（0，） ﹣ 单调递减
0 极小值
（，+∞） + 单调递增
2
2
3
2
，函数f（x）有两个零点，不符合
∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，
- 14 -
∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去． 当a＜0时，f′（x）=3ax﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下： x f′（x） f（x）
（﹣∞，） ﹣ 单调递减
0 极小值
（，0） + 单调递增
0 0 极大值
（0，+∞） ﹣ 单调递减
2
而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞， ∴存在x0＞0，使得f（x0）=0， ∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0， ∴极小值f（）＞0，化为a＞4， ∵a＜0，∴a＜﹣2．
综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 故选：C．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．在平面直角系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α、β的终边分别与单位圆交于点（
考点：任意角的三角函数的定义． 专题：三角函数的求值．
分析：利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosβ的值，代入原式计算即可得到结果． 解答： 解：∵角α、β的终边分别与单位圆交于点（
，
）和（﹣，），
，
）和（﹣，），那么sinαcosβ等于﹣
．
2
∴sinα==，cosβ==﹣，
则sinαcosβ=﹣，
- 15 -
辽宁省沈阳二中高三数学上学期暑期检测试卷 文（含解析）
