函数的单调性与最值
一、 知识梳理：（阅读教材必修1第27页—第32页）
1．对于给定区间D上的函数f(x)，对于D上的任意两个自变量x1,x2，当x1?x2时，都有
f(x1)?f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)， 则称f(x)是区间D上减函数.
2．判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性; (4) 图象法. 3.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增
x1?x2函数；(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
x1?x24.设y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
5.如果f(x)和g(x)都是增(或减)函数,则在公共定义域内是数;
f(x)?g(x)增(或减)函
f(x)增g(x)减,则f(x)?g(x)是增函数;f(x)减g(x) 增,则差函数f(x)?g(x)是减函数.
6．基本初等函数的单调性
（1）一次函数y?kx?b. 当k?0在???,???上是增函数；当k?0在???,???上是减函数
（2）二次函数y?ax?bx?c(a?0).
2b???b??,??上是减函数；在?上是增函数； ??2a2a????b???b??,??当a?0在???,?上是增函数；在?上是减函数； ??2a???2a?k（3）反比例函数y?(k?0).
x当a?0在???,? 当k?0在???,0?上是减函数，在?0,???上是减函数；当k?0在???,0?上是增函数，在
?0,???上是增函数。
（4）指数函数y?a(a?0,a?1).当a?1在???,???上是增函数；当0?a?1在
x???,???上是减函数。
（5）指数函数y?logax(a?0,a?1)当a?1在?0,???上是增函数；当0?a?1在
?0,???上是减函数。
7.函数的最值
对于函数y=f(x)，设定义域为A，则 （1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。 （2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。 二、题型探究
【探究一】：判断证明函数的单调性
2x例1：试判断函数f(x)?在区间（0，1）上的单调性.
x?1
例2：下列函数中，在区间(??,0]上是增函数的是（ ） （A）y?x?4x?8（B） y?log1(?x) （C）y??222 （D）y?1?x x?1探究二：抽象函数的单调性 例3：【2013师大精典题库】定义在R上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、b，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；
(2)求证：对任意x，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R上的增函数。
例4：函数f(x)对任意a、b，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。 (1)证明：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3<3.
探究三：与单调性有关的参数问题
例5：若函数y?f(x)在R单调递增，且f(m)?f(?m)，则实数m的取值范围是（ ） A.???,?1? B.?0,??? C.??1,0? D.???,?1?U?0,???
探究四、函数的单调性与最值 例6：求下列函数的值域
1、 y＝－x－6x－5 2、 y=x+ 3、
4、 ,表示不超过x的最大整数
2
例7：12．求f(x)＝x－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
22
解：f(x)＝(x－a)－1－a，对称轴为x＝a. w w w .x k b 1.c o m
2
2①当a＜0时，由图①可知， f(x)min＝f(0)＝－1， f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a＜1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图③可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1.
④当a＞2时，由图④可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a， f(x)max＝f(0)＝－1.
综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；
2
当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a，f(x)max＝3－4a；
2
当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a，f(x)max＝－1； 当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1. 三、方法提升
1、 函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，函数在给定的区间的单调性反映函数在区间
上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质 ，但不一定是函数在定义域内上的整体性质，函数的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；
2、 求函数的单调区间，首先请注意函数的定义域，函数的增减区间都是定义域的子区间;
其次，掌握基本初等函数的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，导数法； 3、 利用函数的单调性可以解函数不等式、方程及函数的最值问题。 四、反思感悟
。 五、课时作业
一、选择题
1. 【15高考改编】函数f(x)?ln(x?x)的定义域为（ ）
A. (??,0)?(1,??) B (??,0]?[1,??) C.(0,1) D. [0,1]
2
高三数学第一轮复习 函数的单调性与最值教案 文
