北京师范大学燕化附属中学数学几何模型压轴题单元达标训练题
（Word版 含答案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt△ABC中，?A?90?，AB?AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD?AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，
CE，判断PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD?4，AB?10，请直接写出
PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM?PN，PM?PN；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）【解析】 【分析】
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（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又△ABC为等腰直角三角形，AD=AE，所以得PN=PM，且互相垂直；
（2）由旋转可推出?BAD≌?CAE，再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM，且PM⊥PN，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】
（1）PM?PN，PM?PN；
已知点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，根据三角形的中位线定理可得
PM?11EC，PN?BD，PM//EC，PN//BD 22根据平行线性质可得?DPM??DCE，?NPD??ADC 在Rt?ABC中，?A?90?，AB?AC，AD?AE 可得BD?EC，?DCE??ADC?90?
即得PM?PN，PM?PN 故答案为：PM?PN；PM?PN． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得?BAD??CAE， 又AB?AC，AD?AE ∴?BAD≌?CAE
∴BD?CE，?ABD??ACE， ∵点M，P分别为DE，DC的中点 ∴PM是?DCE的中位线 ∴PM?1CE，且PM//CE， 21BD，且PN//BD 2同理可证PN?∴PM?PN，?MPD??ECD，?PNC??DBC， ∴?MPD??ECD??ACD??ACE??ACD??ABD，
?DPN??PNC??PCN??DBC??PCN，
∴
?MPN??MPD??DPN??ACD??ABD??DBC??PCN??ABC??ACB?90?，
即?PMN为等腰直角三角形．
（3）把?ADE绕点A旋转的如图的位置，
此时PN?11(AD?AB)?7，PM?(AE?AC)?7 22149?7?7?． 22且PN、PM的值最长，由（2）可知PM?PN，PM?PN 所以?PMN面积最大值为【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为 ．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3． 【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∴AD＝2BC＝12， ∴△ABD的面积＝故答案为：36；
（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
11AD?BC＝?12×6＝36， 22
北京师范大学燕化附属中学数学几何模型压轴题单元达标训练题(Word版 含答案)
