第二章习题课
1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
?r0??r1??r0?证明：设从镜M1?M2?M1,初始坐标为?????=T?????，往返一次后坐标变为?????,往返
?1??0??0?两次后坐标变为???r0??r2?????=TT ?????2???0?而对称共焦腔，R1=R2=L
?2LL则A=1-=-1 B=2L?1??RR22?C=-????=0 ??2?2L?2L??2?2L??2L?????????1??1?1?=0 D=-???=-1 ???????R1R2?R1???R1?R1??R2????10?所以，T=??0?1??
??故，???r2???10???10??r0??r0????????=?=? 即，两次往返后自行闭合。 ???????????2??0?1??0?1???0???0?LL ,g2=1-
R1R22．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔的稳定性条件为0 0<1- L<1，即0 R1?L???， R2?L或R1?LR2?LR1?R2?L (c)对凹凸腔：R1=R1,R2=-R2, 0 3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作 第 1 页 物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。 解： ?1L(1?)nL 由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的Le?LC?L?1???1?? n?由0 4.图2.1所示三镜环形腔，已知l,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什 么范围内该腔是稳定腔。图示环形强为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式（2.2.7）中的f?(Rcos?)/2，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，f?R/(2cos?)，?为光轴与球面镜法线的夹角。 解:透镜序列图为 r11r12r21r22r31r32r41?11?12?21?22?31?32?41R??RRR?? 该三镜环形腔的往返矩阵为： 由稳定腔的条件：?1?L??L1??A?D??1，得：0????1???2??2 2?f??f?LL?f?或f?L。 32若为子午光线，由f?4L2L4L1?R?Rcos30?则或R? 23333第 2 页 若为弧矢光线，由f?RL3L，则或R?3R ?R?2cos30?235．有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，L＝30cm，d=2a=0.12cm,率为 ??632.8nm,镜的反射 r1?1，r2?0.96，其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果 0想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择作一大略的估计、氦氖增益由公式egl2小孔边长应为多大？试根据图2.5.5TEM00， ?4l?1?3*10d计算。 2解: 菲涅耳数 (0.06cm)aN?L??30cm*632.8nm?1.90 g增益为el30?1?3*10?1.075 0.12?4TEM00模衍射损耗为4.7*10， 模衍射损耗为10?6，总损耗为0.043，增益大于损耗; ?6?9TEM01TEM02模衍射损耗为5*10，总损耗为0.043，增益大于损耗; 衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为??0.234 e??*eg0l?1.05?1 因此不能作单模运转 为实现 TEM00单横模运转所加小孔光阑边长为： 2?0s?2L??3?230*632.8??5.0*10m ?46．试求出方形镜共焦腔面上解： TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？ 2?6x?0,?L?2H3(X)?8X?12X?0 ， X1?06X2,3??2，由得节线位置： 因此节线是等间距分布的。 7．求圆形镜共焦腔 TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。 第 3 页 解： TEM02模的节线位置由缔合拉盖尔多项式： 由 L2(?)?2r??2201(2?4???2)2则 ?0得 ?1,2?2?2， 又 ?0s2? 0sr?1?2TEM20模的节线位置为r?0或sin2?＝0， 即：??0,?,?,3? 228.今有一球面腔， R1?1.5m，R2??1m，L＝80cm。试证明该腔为稳定腔；求出 它的等价共焦腔的参数。 解：g1=1- LL=0.47 g2=1-=1.8 ，g1?g2=0.846 R1R2 即：0< g1?g2<1，所以该腔为稳定腔。 由公式（2.8.4） Z1= L?R2?L?=-1.31m ?L?R1???L?R2??L?R1?L?=-0.15m ?L?R1???L?R2?Z2= f= 2L?R1?L??R2?L??R1?R2?L???L?R1???L?R2??2=0.25m 2f=0.5m 9.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L＝50cm，R＝2m，2a＝1cm， ??10.6?m。试计算 ?s1?s2?0?0?00?00各为多少。 、 、 、 、 、 解：g112?1?LR1?1，g2?1?LR2?34， 11．今有一平面镜和一R=1m的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。 第 4 页 ??[g1?g2?2g1g2]?解：??02?g1g2(1?g1g2)?L??当L?R2?0.5m时， 2?14?1?g2?????2???L?g2???14，(g1?1) 2?0最小. ?s1， 12．推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，作出：（1）当R＝100cm时，（2）当L＝100cm时，?，?随R而变化的曲线。 ?s2随L而变化的曲线；s1s2??L?解： ?s1???L(?L)(??L)??R1R1R2?（1）R2?R?100cm (2)L?100cm 2(R2?L)R114 13.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的R＝2m，腔长L＝1m。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径解： ?0的大小和位置、该高斯光束的f及?0的大小。 f?2L(R1?L)(R2?L)(R1?R2?L) [(L?R1)?(L?R2)]2 即： f?1m 14．某高斯光束腰斑大小为?0?1.14mm，??10.6?m。求与束腰相距30cm、10m、 1000m远处的光斑半径?及波前曲率半径R。 解：?(z)??0f2z2 1?()，R(z)?z?zf2??0?0.385m 其中，f??15．若已知某高斯光束之?0?0.3mm，??632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距 30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。 解： 11???i,R(0)?? 2q0R(0)??0第 5 页
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