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双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。
重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.
、
的距离之差的绝对值等于常数、
（大于0且
）的动点
的轨迹叫作双曲线.这两个定点
叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的
知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点焦距.
注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：仅表示双曲线中靠焦点焦点
的一支；
的一支；若
（
（
，这可以借助于三角
），则动点轨迹
），则动点轨迹仅表示双曲线中靠
3. 若常数满足约束条件：点）；
4．若常数满足约束条件：
，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端
，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程
1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：
，其中
；
2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.
注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；
2．在双曲线的两种标准方程中，都有
；
的系数为正时，焦点在轴上，
，
3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当双曲线的焦点坐标为
，
；当
的系数为正时，焦点在
轴上，双曲线的焦点坐标为
.
知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线
（a＞0，b＞0）的简单几何性质
授课：XXX
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（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y
同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率： ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率
。 由c=a+b，可得
2
2
2
。
，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越
开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。
（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是线。
注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 知识点四：双曲线标准方程 图形 焦点 焦距 性质 范围 对称性 顶点 ， ， ， 与。我们把直线
叫做双曲线的渐近
的区别和联系 ， 关于x轴、y轴和原点对称 授课：XXX
希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！ 轴 实轴长=，虚轴长= 授课：XXX
经典双曲线知识点
