课后限时集训(四十七) 椭圆的定义、标准方程及其性质
(建议用时：60分钟) A组 基础达标
一、选择题
y2
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
2－k2k－1
x2
?1?A.?，2? ?2?
C．(1,2)
2－k＞0，??
C [由题意得?2k－1＞0，
??2k－1＞2－k，
B．(1，＋∞)
?1?D．?，1?
?2?
解得1＜k＜2.故选C.]
2．(2018·惠州二模)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1
95|PF2|
的中点在y轴上，则的值为( )
|PF1|
A.5 14
5B． 95D． 13
x2y2
4C. 9
D [如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以
b2513|PF2|
OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，
a33|PF1|
5
＝，故选 13
D．]
3.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )
1A. 21C. 3
3B． 42D． 3
1222
A [由题意得2a＝＝83(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，∴c＝a－bcos 30°
c1
＝23 cm，∴e＝＝.故选A.]
a2
4．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小
- 1 -
值为( )
A．1 C．2
B．2 D．22
1
D [设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，×2cb＝1?bc2＝1,2a＝2b＋c≥22bc＝22，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选
2
2
2
2
D．]
5．已知A(－1,0)，B是圆F：x－2x＋y－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为( )
A.
＋＝1 1211
x2y2
B．－＝1 3635D．＋＝1
32
x2y2
C.－＝1 32
x2y2x2y2
D [由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，
32故选D．]
二、填空题
x2y2
x2y2
6．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知椭圆C：2＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为
a4
________．
222
[由题意可知a－4＝4，∴a＝8，即a＝22. 2
∴C的离心率e＝＝c22
＝.]
a222
7．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．
x2
5
＋y＝1或＋＝1 [令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝－2，
45
2
x2y2
∴若椭圆的一个顶点为(－2,0)，则其一个焦点为(0,1)， 此时椭圆方程为＋＝1.
45
若椭圆的一个顶点为(0,1)，则其焦点为(－2,0)， 此时椭圆方程为＋y＝1.]
5
→
的取值范围是________．
- 2 -
x2y2
x2
2
→
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率
→→
2??
?0，? [满足MF1·MF2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则
2??
122222222222
有c＜b，即c＜b，又b＝a－c，所以c＜a－c，即2c＜a，所以e＜，又因为0＜e＜1，
2所以0＜e＜
2.] 2
三、解答题
9．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；
43
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
[解] (1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过
43432
点(2，－3)，所以t1＝＋
4
2
x2y2
x2y2y2x2
2
－33
2
－3
＝2，或t2＝
4225＋＝. 312
2
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
862525
34
x2y2y2x2
x2y2y2x2
(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)或2＋2＝1(aabab??2a＝5＋3，
＞b＞0)，由已知条件得?222
?2c＝5－3，?
解得a＝4，c＝2，所以b＝12. 故椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 16121612
2
x2y2y2x2
x2y2
10.如图，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，
abF2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
[解] (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2， 因此2c＝|F1F2|＝|PF1|＋|PF2| ＝
2
2
2＋2
2
＋2－2
2
＝23，
- 3 -
即c＝3，从而b＝a－c＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋y＝1.
4
(2)如图，连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|， 因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a， 从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a. 由PF1⊥PF2，知|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝(2c)，
22
c|PF1|＋|PF2|
因此e＝＝
a2a2
2
2
2
2
2
22
x2
2
＝2－2＋2－1
＝9－62＝6－3.
B组 能力提升
1.(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点
O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且
|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.
＋＝1 3616
x2y2
B．＋＝1 4015C.
＋＝1 4924
x2y2
x2y2
D．＋＝1 4520
C [由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝|FF′|－|PF|＝10－6＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a＝49， 于是b＝a－c＝49－5＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C.]
4924
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
x2y2
2．(2019·南昌重点中学联考)设椭圆C：2＋2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，
ab - 4 -
F2，点E(0，t)(0＜t＜b)．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的
最小值为4b，则椭圆C的离心率为( )
A.3 2
B．D．
2 25 2
1C. 2
A [如图，连接EF1，PF1，则|EF1|＝|EF2|，所以△PEF2
的周长l＝|PE|＋|EF2|＋|PF2|＝|PE|＋|EF1|＋|PF2|，因为|PE|＋|EF1|≥|PF1|，所以△PEF2的周长l≥|PF1|＋|PF2|，因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以l≥2a，因为△PEF2的周长的最小值为4b，所以2a＝4b，即a＝2b，所以c＝a－b＝3b，所以c＝3b，所以椭圆C的离心率e＝＝
2
2
2
2
ca3
，故选A.] 2
2
2
2
2
3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)＋y＝1和(x－4)＋y＝1
259上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为________．
8,12 [如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.]
x2y2
x2y2
4．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，
ab直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； →
3
(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．
2
[解] (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c. 所以a＝2c，e＝＝
→
→
→
ca2. 2
2
2
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝a－b，设B(x，y)． →
→
由AF2＝2F2B，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
b?3cb?3c解得x＝，y＝－，即B?，－?.
2?22?2
- 5 -
2020版高考数学一轮复习课后限时集训47椭圆的定义、标准方程及其性质(理)(含解析)北师大版
