一对一授课教案
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空间向量与立体几何
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本次作业
一．知识要点。
1. 空间向量的 概念 ：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（ 1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（ 2）向量具有 平移不变性 2. 空间向量的 运算 。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP
运算律： ⑴加法交换律：
a( R)
a b b a
a
b
平行六面体法则
⑵加法结合律： ⑶数乘分配律：
(a b) c a (b c) (a b )
运算法则 ：三角形法则、平行四边形法则、 3. 共线向量。
（ 1）如果表示空间向量的有向线段所在的直 线平行或重合 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，
a 平行于
b ，记作 a // b 。
（ 2）共线向量定理 ：空间任意两个向量
a
b b
AC
0
a // b
a
存在实数 λ，使
b
＝ λ 。
、 （ ≠ ），
（ 3）三点共线 ： A 、 B、 C 三点共线 <=> AB
xOA yOB(其中<=> OC x
（4）与 共线的单位向量为
y 1)
a
a a
4. 共面向量
（ 1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的 两向量都是共面 的。 （ 2）共面向量定理 ：如果两个向量
a,b 不共线， p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数
x , y 使 p xa yb 。
（ 3）四点共面：若 A 、 B、 C、 P 四点共面 <=> AP x AB yAC
zOC (其中 x y z <=> OP xOA yOB 1)
1
5. 空间向量基本定理 ：如果三个向量 a,b, c 不共面， 那么对空间任一向量
p ，存在一个唯一的有序实数组
x, y, z ，
使 p
xa yb zc 。
若三向量 ab,,c不共面，我们把 { a,b ,c} 叫做空间的一个 基底， a,b , c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量
都可以构成空间的一个基底。
推 论 ： 设 O, A, B, C 是 不 共 面 的 四 点 ， 则 对 空 间 任 一 点 P ， 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数 x, y, z ， 使
OP xOA yOB
zOC
。
6. 空间向量的直角坐标系：
（ 1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系
O xyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组
(x, y, z) ，使 OA xi yi zk ，有序实
数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O 标。
xyz 中的坐标，记作 A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐
注：①点 A（x,y,z ）关于 x 轴的 的对称点为 (x,-y,-z), 关于 xoy 平面的对称点为
y 轴上的点设为 (0,y,0),
(x,y,-z). 即点关于什么轴 /平面对称，什
么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在 在平面 yOz 中的点设为 (0,y,z)
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，
且长为 1，这个基底叫单位 正交基底 ，用 {,i j, k} 表示。空间中任一
向量 a xi y j zk =（ x,y,z）
（ 3）空间向量的直 角坐标运算律： ①若 a (a1, a2 , a3 ) ， b
(b1, b2, b3 ) ，则 a b (a1 b1, a2 b2, a3 b3 ) ，
，a b (a1 a b a1b1
b1, a2 b2 , a3 b3 ) a ( a1, a2 , a3 )( a2b2 a3b3 ，
b1, a2
1 1
R) ，
a // b a1 b2 ,a3b3( R) ，
2
a
b a b a b
2
a b
3
3
0 。
②若 A(x1, y1 , z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB (x2
x1, y2 y1 , z2 z1 ) 。
，
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ③定比分点公式：若
( x1
1
x2 , y1
1
y2 , z1
z2
A( 1x , 1y , 1z，) B(x2 , y2 , z2 )
AP PB，则点
P 坐 标 为
当 P 为 AB 中点时， P(
x1
1
) 。推导 ：设 P（ x,y,z）则 (x x1, y y1, z z1)
( x2 x, y2 y,z2 z),显然，
xyyzz2 , 1 2 , 1 2 )
1
④
xxxyP( 1 23 , 1
3
2 2
, y , , ( x , y , z ), ( x , y , z )
22233ABC中 ， A（x 1z）B C 3yz
3 , 1
z2 2
2
，三角形重心
y2 2
z1
P
坐 标 为
3 )
2
⑤ ABC的五心 ：
内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。
AB AC （单位向量）
( AB
AC
)
AP
外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。 垂心 P：高的交点： PA PB
PA PB
1
PC
PA PC
3
PB PC （移项，内积为
0，则垂直）
重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）
(AB AC ) AP
3
中心：正三角形的所有心的合一。 （ 4）模长公式 ：若 a
1
2
1 2
(a , a , a ) ， b (b ,b , b ) ，
3
则 | a |
a a
a12 a2 2 a3 2 ， | b | b b
cos a b
a b
222 b1 b2 b3
（ 5）夹角公式：
a1b1 a2b2
a3b3
。
| a | |b |
a12 a22 a3 2 b12 b22 b32
AC 0 <=>A为锐角 ② AB AC 0 <=>A 为钝角，钝角
（ 6）两点间的距离公式：若 A( x1 , y1, z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，
2
ABC中① AB
则|AB| 或d
AB
( x2 x1) 2 ( y2 y1) 2 ( z2 z1) 2 ，
A, B
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1) 2
7. 空间向量的数量积。
（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量
a,b ，在空间任取一点 O ，作 OA a, OB b ，则 AOB 叫
a, b
，则称 a
做向量 a 与 b 的夹角，记作
a,b
；且规定 0
a,b
，显然有
a,b
b,a
；若
2
与 b 互相垂直，记作：
a b 。
（ 2）向量的模：设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量
a 的长度或模，记作： | a |。
（ 3 ） 向 量 的 数 量 积 ： 已 知 向 量 a,b ， 则 | a | |b | cos a b, 叫 做 a, b 的 数 量 积 ， 记 作 a b ， 即
a b
① a
| a | |b | cos a b, 。
（ 4）空间向量数量积的性质：
e | a |cos
a) b (b
c)
a, e
。②
a
b
a b
0 。③ | a |2
a a 。
（ 5）空间向量数量积运算律： ① ( ③ a
(a b) a ( b ) 。② a b a b
a c
（分配律）。
b a （交换律） 。
④ 不满足 乘法结合率： (a
二．空间向量与立体几何 1．线线平行 1-1 线面平行 1-2 面面平行 2-1 线面垂直 2-2 面面垂直 3线线夹角
b)c a(b c)
两线的方向向量平行 两面的法向量平行
线的方向向量与面的法向量垂直
2 线线垂直（共面与异面） 两线的方向向量垂直
线与面的法向量平行 两面的法向量垂直
（共面与异面） [ 0O ,90O ]
两线的方向向量 n1 , n 2 的夹角或夹角的补角，
3
cos cos n1, n2
3-1 线面夹角
[ 0 ,90 ] ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量OO
AP 与面的法向量 n 的夹角，若为锐角角即可，
cos AP, n
若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角
. sin
3-2 面面夹角（ 二面角）
[ 0O ,180O ] ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量
cos
的距离： 在平面
n1, n 的夹角；法向
2量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 4．点面距离 h ：求点 P
cos n1 , n2
x0 , y0 到平面
上去一点 Q x, y ，得向量 PQ ； 计算平面 的法
向量 n ;.
PQn
h
n
4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离 4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离
【典型例题】
1．基本运算与基本知识（）
例 1. 已知平行六面体 ABCD－ABCD ，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴ AB BC ；
⑵AB AD AA ；
⑶ AB
AD1
CC ； ⑷1
(AB AD
AA)。
2 3
M
G
例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点
A, B, C ，问满足向量式：
（其中
OP xOA yOB zOC x
y z 1）的四点 P, A, B, C 是否共面？
例 3 已知空间三点
A （ 0， 2， 3）， B（－ 2，1， 6），C（ 1，－ 1， 5）。
⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S；
⑵若向量
分别与向量 AB, AC 垂直，且 | |
3 a 的坐标。
a
a ＝
，求向量
4
;
2．基底法（如何找，转化为基底运算）
3．坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标） 4．几何法
例 4. 如图，在空间四边形 OABC中， OA
8， AB
6， AC
4， BC
5， OAC
45 ，
OAB 60 ，求
OA 与 BC 的夹角的余弦值。
O
A
C
B
说明：由图形知向量的夹角易出错，如 OA, AC 135 易错写成 OA, AC
45 ，切记！
例 5. 长方体 ABCD
A1B1C1D1 中， AB
BC 4， E为 AC1
1 与 B1 D1 的交点，
F 为 BC1 与 B1C 的交点，又 AF
BE ，求长方体的高 BB1 。
【模拟试题】
1. 已知空间四边形 ABCD ，连结 AC , BD ，设 M , G 分别是 BC ,CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果
向量：（ 1） AB
BC CD ；
1
；
（2） AB
( BD BC)
（3）
1 AG(AB AC) 。
2
2
2. 已知平行四边形 ABCD ，从平面 AC 外一点 O 引向量。
OE kOAOF, kOBOG, kOC, OH。
kOD
（ 1）求证：四点 E, F ,G, H 共面； （ 2）平面 AC // 平面 EG 。
5
空间向量与立体几何知识点归纳总结
