法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x(x?0),∠APO=?,则∠APB=2?，PO=1?x2，sin??A 11?x=
2，
O P PA?PB?|PA|?|PB|cos2?x2(1?2sin2?)=
B x2(x2?1)x4?x2x4?x2=2，令PA?PB?y，则y?2，
x2?1x?1x?12即x?(1?y)x?y?0，由x是实数，所以
42??[?(1?y)]2?4?1?(?y)?0，y2?6y?1?0，解得y??3?22或y??3?22.
故(PA?PB)min??3?22.此时x?2?1. 2???PA?PB??PA??PB?cos???1/tan?cos?【解析2】设?APB??,0????， 2???2???2??1?sin1?2sincos????2??2???2??2?2???1?2sin??换元：x?sin???2?2sin2sin2222??,x0?，1PA?PB??1?x??1?2x??2x?1?3?2xx2?3
22x?y?1，设A(x,y),B(x,?y),P(x,0)， 【解析3】建系：园的方程为11110
2PA?PB??x1?x0,y1???x1?x0,?y1??x12?2x1x0?x0?y12
AO?PA??x1,y1???x1?x0,y1??0?x12?x1x0?y12?0?x1x0?1
222PA?PB?x12?2x1x0?x0?y12?x12?2?x0??1?x12??2x12?x0?3?22?3
（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A) 234383 (B) (C) 23 (D) 33312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有
112V四面体ABCD??2??2?h?h,当直径通过AB与CD的中点时,hmax?222?12?23,故
323Vmax?
43. 3第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．(13)不等式
x?2x2?3x?20的解集是 .
13. x?2?x??1,或x?2【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法 【解析】:
??x?2x2?3x?20?x?2?0??x?2??x?2??x?1??0，数轴标根
x?2x?1????得：x?2?x??1,或x?2 (14)已知?为第二象限的角，sina?14.???3,则tan2?? . 524【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的734sin?3??,, 所以cos???，tan??55cos?4正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为?为第二象限的角,又sin??所tan(2?)?2tan?24??
1?tan2?7(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课
程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答) 15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论
的数学思想.
【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有
121C3C4种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C4种不121C4+C32C4?18?12?30种. 同的选法.所以不同的选法共有C3333【解析2】: C7?C3?C4?30
(16)已知F是椭圆C的一个焦点，线段BF的延长线交C于点D， 且B是短轴的一个端点，
uuruurBF?2FD，则C的离心率为 .
16.
3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与3 yB 几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
【解析1】如图，|BF|?b2?c2?a,
O D1 F D xuuruur作DD1?y轴于点D1,则由BF?2FD，得 |OF||BF|233??,所以|DD1|?|OF|?c,
|DD1||BD|322a23c3c23c即xD?,由椭圆的第二定义得|FD|?e(?)?a?
c22a233c2,?e?又由|BF|?2|FD|,得a?2a? 3ax2y2【解析2】设椭圆方程为第一标准形式2?2?1，设D?x2,y2?，F分 BD所成的比为2，
abxc?3y?b3?0?b0?2x2b?2y233b?x2?xc?c;yc??y2?c???，代入 1?2221?222239c21b2?e???1， 34a24b2
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．．
记等差数列?an?的前n项和为Sn，设S3?12，且2a1,a2,a3?1成等比数列，求Sn. (18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．．
已知VABC的内角A，B及其对边a，b满足a?b?acotA?bcotB，求内角C．
(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．． 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3． 各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．如图，四棱锥S-ABCD中，SD?底面ABCD，AB//DC，AD?DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x)?3ax?2(3a?1)x?4x （I）当a?421时，求f(x)的极值; 6（II）若f(x)在??1,1?上是增函数，求a的取值范围
(22)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
已知抛物线C:y?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D .
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设FAFB?
28，求?BDK的内切圆M的方程 . 9三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17) 解：
（1）由am=a1+（n-1）d及a1=5，aw=9得
a1+2d=5 a1+9d=-9 解得 a1=9 d=-2 数列{am}的通项公式为an=11-2n。 因为Sm=(n-5)2+25. 所以n=5时, Sm取得最大值。 （18）解： （1）因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以AC⊥PH又AC⊥BD,PH,BD都在平面PHD内,且PH∩BD=H. 所以AC⊥平面PBD 故平面PAC平面PBD
n(n-1)
(2)由（1）知Sm=na1+2 d=10n-n2
2019-2020年高考数学（文）试题及答案（全国1卷）
