【高中数学】数学高考《推理与证明》试题含答案
一、选择题
1．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A．乙 B．甲 C．丁 D．丙 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】
在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；
由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，
由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】
本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
a，b，c都大于0，则三个数a?2．设 A．至少有一个不小于2 C．至多有一个不小于2 【答案】A 【解析】 【分析】
根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】
111，b?，c?的值（ ） bcaB．至少有一个不大于2 D．至多有一个不大于2
a，b，c都大于0 因为
a?111111111?b??c??a??b??c??2a??2b??2c??6 bcaabcabc当且仅当a?b?c?1时取得最小值
111?2，b??2，c??2
abc111则a??b??c??6，与前面矛盾
bca若a?所以三个数a?故选：A 【点睛】
本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.
111，b?，c?的值至少有一个不小于2 bca
3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，
nn?1意即“设x为某某”.如图2所示的天元式表示方程a0x?a1x?????an?1x?an?0，其中
a0，a1，…，an?1，an表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或
在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.
试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A．x2?286x?1743?0 C．1743x2?286x?1?0 【答案】C
B．x4?27x2?84x?163?0 D．163x4?84x3?27x?1?0
【解析】 【分析】
根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】
由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为
1743x2?286x?1?0.
故选：C. 【点睛】
本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.
4．在平面直角坐标系中,方程
xy??1表示在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线,类比abxyz???1 abbcca到空间直角坐标系中,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c?abc?0?的平面方程为( ) A．C．
xyz???1 abcB．
xyyzzx???1 abbcca【答案】A 【解析】 【分析】
D．ax?by?cz?1
平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是【详解】
xyz???1. abc由类比推理得：若平面在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c，则该平面的方程为：
xyz???1，故选A. abc【点睛】
平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令x?0,y?0，看z是否为c.
5．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“cos2a?1?2sin2a”所用的几何图形，已知点B,C在以线段AC为直径的圆上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE?AB,点F为EC的中点.设AC?2r,?DAC?a,那么下列结论:
高考数学压轴专题2024-2024备战高考《推理与证明》单元汇编含答案
