4.1.1圆的标准方程
一、选择题
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)＋(y－3)＝4，则它们的位置关系为( ) A．在圆心 C．在圆内
2
2
2
2
B．在圆上 D．在圆外
解析：选C ∵(3－2)＋(2－3)＝2＜4， ∴点P在圆内．
2．圆(x＋1)＋(y－2)＝4的圆心、半径是( ) A．(1，－2)，4 C．(－1,2)，4 答案：D
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A．x＋(y－2)＝1 C．(x－1)＋(y－3)＝1
2
2
2
22
2
B．(1，－2)，2 D．(－1,2)，2
B．x＋(y＋2)＝1 D．x＋(y－3)＝1
2
2
22
解析：选A 法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
0－1
2
＋
2
b－2
2
＝1，解得b＝2，
2
故圆的方程为x＋(y－2)＝1.
法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为
x2＋(y－2)2＝1.
法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B、D，又由于圆心在y轴上，排除C，选A.
4． 以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A．(x－1)＋(y－2)＝10 B．(x－1)＋(y－2)＝100 C．(x－1)＋(y－2)＝5 D．(x－1)＋(y－2)＝25
解析：选D 圆心坐标为(1,2)，半径r＝为(x－1)＋(y－2)＝25.
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)＋(y＋2)＝5 C．(x＋1)＋(y－2)＝5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5－1
2
＋5－2
2
＝5，故所求圆的方程
B．(x＋1)＋(y＋2)＝5 D．(x－1)＋(y－2)＝5
2
2
22
解析：选C 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
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??x＋1＝0由?
?－x－y＋1＝0?
??x＝－1
得?
?y＝2?
，∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)＋(y－2)
22
＝5.
二、填空题
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
?x－y＋2＝0，?
解析：由?
??2x＋y－8＝0，
可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝
2
2
2－0
2
＋4－0
2
2
＝25，故圆的标准方程为(x－2)＋(y－4)＝20.
2
答案：(x－2)＋(y－4)＝20
7． 点(5a＋1，a)在圆(x－1)＋y＝26的内部，则a的取值范围是________． 解析：由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)＋(a)＜26， 即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1. 答案：0≤a＜1
8．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．
解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离|a＋2×0|
为＝5，解得a＝－5，a＝5(舍去)， 22
1＋2
∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x＋5)＋y＝5. 答案：(x＋5)＋y＝5 三、解答题
9．求经过A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程． 解：法一：设圆心坐标为(a，b)． ∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x＋(y－b)＝r. ∵该圆过A，B两点，
??－1＋∴?2
??3＋2－b2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
4－b2
2
＝r，
2
＝r.
2
2
??b＝1，
解得?2
??r＝10.
∴所求圆的方程为x＋(y－1)＝10.
2－41
法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，
3－－12∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
2
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??y＝2x＋1，由?
?x＝0，?
??x＝0，
解得?
?y＝1.?
∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝10， ∴所求圆的方程为x＋(y－1)＝10.
10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)＋(y－6)＝r.将点(1,10)代入得(1－a)＋(10－6)＝r，①
|a－13|
而r＝，
5代入①，得(a－1)＋16＝2
2
2
2
2
2
2
2
2
a－13
5
2
，
解得a＝3，r＝25，或a＝－7，r＝45.
故所求圆为(x－3)＋(y－6)＝20，或(x＋7)＋(y－6)＝80.
2
2
2
2
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高中数学必修二 4.1.1 圆的标准方程习题 新人教A版必修2
