1.3 导数在研究函数中的应用
要点精讲 有关导数在函数中的应用主要类型有：判断函数的单调性，求函数的极值和最值， 利用函数的单调性证明不等式，求参数的范围，前面几种类型的综合及与解析几何等综合题.这些类型成为近两年最闪亮的热点,是高中数学学习的重点之一,预计也是“新课标”下高考的重点.
典型例题 1．求函数y?2x2?lnx的单调区间。
分析：求出导数yˊ,令yˊ>0或yˊ<0，解出x的取值范围，便可求出单调区间。 【解析】
14x2?1?2x?1??2x?1??yˊ?4x??，由定义域知x>0，
xxx
yˊ>0
x?0??(2x?1)(2x?1)?0?x?1， 2 yˊ<0??x?0(2x?1)(2x?1)?01?0?x?,
2??1?2?。
故所求单调增区间为?，+??，单调减区间为?0，??1?2??方法总结：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f?x?的定义域；（2）求导数fˊ(x)；（3）在函数f?x?的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0；（4）确定f?x?的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论. 2．求函数y?【解析】
2x?2的极值 x2?1f?x?的定义域为R. fˊ(x)?2?x2?1??2x?2x?x2?1?2?2?1?x2??x2?1?2.
令yˊ=0，解得x=1或x=－1.当x变化时，yˊ、y的变化情况如下：
x yˊ y (－∞, －1) － ↘ －1 0 极小值－3 (－1, 1) + ↗ 1 0 极大值－1 (1,+∞) － ↘ 当x=－1时，y有极小值－3，当x=1时，y有极大值－1.
方法总结：求可导函数极值的步骤是：（1）求导数fˊ(x)；（2）求fˊ(x)= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数fˊ(x)的符号如何变化，如果fˊ(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果fˊ(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值. 注意：如果fˊ(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值.
3． 求函数f(x)?ln?1?x??【解析】
12x在[0，2]上的最大值和最小值. 41111?x,令?x?0，化简为x2?x?2?0，解得x1=－2(舍去)，x2=1.当01?x21?x21≤x<1时, fˊ(x)>0，f(x)单调递增；当1 4fˊ(x)?函数f(x)的极大值.又因f(0)=0,f?2??ln3?1>0, f(1)> f(2),f(0)=0为函数f(x)在[0，2]上的最小值，f(1)=ln2?1为函数f(x)在[0，2]上的最大值. 4方法总结：求f(x)在[a，b]内的最大值和最小值的步骤：（1）求f(x)在（a，b）内的极值； （2）求f(x)在区间端点的值f(a)与f(b)；（3）将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 4.已知x∈R，ex≥x+1. 分析：应首先构造函数，对函数进行求导，并判断函数的单调性. 证明：令f(x)= ex－x－1，∴fˊ(x) =ex－1.∵x∈???，0?,∴ex－1≥0恒成立，即fˊ(x)≥0. ∴f(x)为增函数.当x∈(－∞,0)时，fˊ(x) =ex－1<0，∴f(x)为增减数. 又∵f(0)=0,∴当x∈R时，f(x)≥f(0)，即ex－x－1≥0，∴ex≥x+1. ????25．已知向量a?(x,x?1),b?(1?x,t),若函数f(x)?a?b在区间（－1，1）上是增函数， 求t的取值范围. 解法1：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t,则f?(x)??3x?2x?t. 2322若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0. ?f?(x)?0?t?3x2?2x,在区间(?1,1)上恒成立,考虑函数g(x)?3x2?2x,1由于g(x)的图象是对称轴为x?,开口向上的抛物线，故要使t?3x2?2x在区间 3（－1，1）上恒成立?t?g(?1),即t?5. 而当t?5时,f?(x)在(?1,1)上满足f?(x)?0,即f(x)在(?1,1)上是增函数. 故t的取值范围是t?5. 解法2：依定义f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t, f?(x)??3x2?2x?t.若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0.?f?(x)的图象是开口向下的抛物线， ?当且仅当f?(1)?t?1?0,且f?(?1)?t?5?0时 f?(x)在(?1,1)上满足f?(x)?0,即f(x)在(?1,1)上是增函数.故t的取值范围是t?5. 326. 设t?0，点P（t，0）是函数f(x)?x?ax与g(x)?bx?c的图象的一个公共点， 两函数的图象在点P处有相同的切线. （Ⅰ）用t表示a，b，c； （Ⅱ）若函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围. 【解析】 （I）因为函数f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），所以f(t)?0， 322 即t?at?0.因为t?0,所以a??t.g(t)?0,即bt?c?0,所以c?ab. 又因为f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以f?(t)?g?(t). 而f?(x)?3x?a,g?(x)?2bx,所以3t?a?2bt. 2323将a??t代入上式得b?t. 因此c?ab??t.故a??t，b?t，c??t. 22（II）解法一：y?f(x)?g(x)?x?tx?tx?t,y??3x?2tx?t?(3x?t)(x?t). 322322当y??(3x?t)(x?t)?0时，函数y?f(x)?g(x)单调递减. 由y??0，若t?0,则?tt?x?t；若t?0,则t?x??. 33由题意，函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减，则 ttt(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).所以t?3或??3.即t??9或t?3. 333又当?9?t?3时，函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减. 所以t的取值范围为(??,?9]?[3,??). 解法二：y?f(x)?g(x)?x3?t2x?tx2?t3,y??3x2?2tx?t2?(3x?t)(x?t) 因为函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减，且y??(3x?t)(x?t)是（－1，3） ?y?|x??1?0,?(?3?t)(?1?t)?0.上的抛物线，所以? 即?解得t??9或t?3. ?y|?0.?x?3?(9?t)(3?t)?0. 所以t的取值范围为(??,?9]?[3,??).
高中数学知识点精讲精析 导数在研究函数中的应用 (2)
