高考达标检测（二十五） 数列求和的3种方法——分组转化、裂项
相消及错位相减
一、选择题
1．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列(－1)
n－1
an的前21项和为( )
B．－21 D．－441
A．21 C．441
解析：选A 设等差数列{an}的公差为d，d>0，由题意可得 2(a1＋6d)－(a1＋12d)＝1，a1(a1＋5d＋5)＝(a1＋2d－1)， 解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 所以(－1)
n－1
2
an＝(－1)n－1(2n－1)， an的前21项和为
故数列(－1)
n－1
1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.
?1?n2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3??，则其前20项和为( )
?5?
1?3?
A．380－?1－19?
5?5?1?3?
C．420－?1－20?
4?5?
1?2?
B．400－?1－20?
5?5?1?4?
D．440－?1－20?
5?5?
解析：选C 令数列{an}的前n项和为Sn，
1??11
则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3?＋2＋…＋20?
5??5511?1－20???5?5?1?20×20＋13?
＝2×－3×＝420－?1－20?.
214?5?
1－
5
3．已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系 ＋＋＋…a1a2a3b1b2b3
an1
＋＝n，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为( ) bn2
A．－454 C．－446
B．－450 D．－442
a1a2a3an1
解析：选B 由题意可得an＝2n－1，因为＋＋＋…＋＝n，
b1b2b3bn2
所以当n≥2时，＋＋＋…＋
a1a2a3
b1b2b3an－11
＝， bn－12n－1
an1n两式相减可得＝－n，则bn＝－(2n－1)·2(n≥2)，
bn2
当n＝1时，b1＝2，不满足上式， 则S5＝2－12－40－112－288＝－450.
11212312391
4．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，
23344410101010an·an＋1
那么数列{bn}的前n项和Sn＝( )
A.C.
n＋13n n＋1
nB.D.
4n n＋15n n＋1
解析：选B 由题意知an＝则bn＝
1
＝
an·an＋1n123nn＋＋＋…＋＝， n＋1n＋1n＋1n＋12
1?4?1＝4?－?， n＋1?nn＋1?
11111??1?4n?1－＋－＋…＋－1－所以Sn＝4?＝4?＝. ??nn＋1??n＋1?n＋1?223
5．(2018·福州质检)已知数列{an}中，a1＝1，且对任意的m，n∈N，都有am＋n＝am＋
2 018
*
an＋mn，则? ＝( )
aii＝1
A.2 018
2 019
B.D.2 017
2 0184 036
2 019
1
C．2
解析：选D 令m＝1，则an＋1＝a1＋an＋n.
又a1＝1，所以an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1， 所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 把以上n－1个式子相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n， 所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝
nn＋1
2
，
，
当n＝1时，上式也成立，所以an＝1所以＝
2 018
nn＋1
2
ann1?2?1
＝2?－?， n＋1?nn＋1?
1?1??11??1－1?＝2?1－1?＝4 036. 所以? ＝2?1－?＋?－?＋…＋????ai?2??23??2 0182 019??2 019?2 019i＝1
11
6．数列{an}为非常数列，满足：a1＝，a5＝，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1对任
48111
何的正整数n都成立，则＋＋…＋的值为( )
a1a2
a50
A．1 475 C．1 325
B．1 425 D．1 275
解析：选B 因为a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1，所以当n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1n1nn－11n＋1
a＝(n－1)a1an，两式相减可得anan＋1＝na1an＋1－(n－1)a1an，即＝－，则＝－
a1anan＋1a1an＋1，则－
?1?nn－1n＋1n112
＝－，即＋＝，即数列??是等差数列，则公差d＝1，则
anan＋1an＋1an＋2anan＋2an＋1?an?
n1
an＋2
11150×4＋53＝53，则＋＋…＋＝＝1 425. a50a1a2a502
二、填空题
7．(2018·陕西一检)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．
解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1， ∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276，
∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13， ∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289. 答案：1 289
8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 018＝________.
解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)(an＋1)可得，
nna2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，…，
故该数列为周期是4的数列，
所以S2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2 ＝504×(－2)＋1－2＝－1 009. 答案：－1 009
9．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，bn＝的前n项和为Sn，则S33的值是________．
解析：∵2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
∴数列{an}为首项为1，公差为2－1＝3的等差数列， ∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
，数列{bn}
an＋an＋1
∴an＝3n－2， ∴bn＝
111
＝＝(3n＋1－3n－2)，
an＋an＋13n－2＋3n＋13
∴数列{bn}的前n项和为
Sn＝[(4－1)＋(7－4)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝(3n＋1－1)．
1
则S33＝(10－1)＝3.
3答案：3 三、解答题
10．(2018·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝－3，S10＝－40. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)∵a5＝a1＋4d＝－3，S10＝10a1＋45d＝－40， 解得a1＝5，d＝－2.∴an＝－2n＋7. (2)依题意，bn＝a2n＝－2×2＋7＝－2故Tn＝－(2＋2＋…＋22－2×2＝－＋7n
1－2＝4＋7n－2
n＋2
2
2
3
1313
nnn＋1
＋7，
n＋1
)＋7n
n＋1
.
11．已知等比数列{an}的公比q>1，且a1＋a3＝20，a2＝8. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Sn是数列{bn}的前n项和，对任意正整数n，不等式Sn＋n＋1>(－1)·aan2恒成立，求实数a的取值范围．
??a11＋q解：(1)由已知得?
?a1q＝8，?
2
nnn＝20，
12
∴2q－5q＋2＝0，解得q＝或q＝2.
2
??a1＝4，
∵q>1，∴?
?q＝2，?
n
n＋1
∴数列{an}的通项公式为an＝2(2)由题意，得bn＝n＋1，
2
.
123n∴Sn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，
2222112n－1nSn＝3＋4＋…＋n＋1＋n＋2， 22222
11111n两式相减，得Sn＝2＋3＋4＋…＋n＋1－n＋2，
222222
11?
1－n???
1111n2?2?nn＋2∴Sn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1＝－n＋1＝1－n＋1，
22222122
1－21n∴(－1)·a<1－n对任意正整数n恒成立，
21
设f(n)＝1－n，易知f(n)单调递增，
21
①当n为奇函数时，f(n)的最小值为，
211∴－a<，即a>－；
22
3②当n为偶函数时，f(n)的最小值为，
43∴a<.
4
13
由①②可知－ 24 ?13?即实数a的取值范围是?－，?. ?24? 12．(2018·云南统检)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N，都有 2Sn＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列? 解：(1)因为2Sn＝(n＋1)an， 当n≥2时，2Sn－1＝nan－1， 两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1， 即(n－1)an＝nan－1， 所以当n≥2时，＝??an?41 ?的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1. an＋2?2 * anan－1 ， nn－1
(全国通用版)高考数学一轮复习高考达标检测 数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消及错位相减(文)
