噼噼啪啪噼噼啪啪课时分层作业(十九)平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐
标运算
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.若{i,j}为正交基底,设a=(x+x+1)i-(x-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于( )
A.第一、二象限 C.第三象限
B.第二、三象限 D.第四象限
2
2
?1?232
D [x+x+1=?x+?+>0,
?2?4
x2-x+1=?x-?2+>0,
2
??
1??
34
所以向量a对应的坐标位于第四象限.]
→1→
2.已知M(3,-2),N(-5,-1)且MP=MN,则点P的坐标为( )
2
【导学号:84352224】
A.(-8,1) 3??C.?-1,-? 2??→1→
C [因为MP=MN,
2→→1→→所以OP-OM=(ON-OM),
2→
?3?B.?1,? ?2?
D.(8,-1)
OP=OM+ON
11
=(3,-2)+(-5,-1) 223??=?-1,-?,
2??
3??即点P坐标为?-1,-?.]
2??
1
3.已知a-b=(1,2),a+b=(4,-10),则a等于( )
2A.(-2,-2)
B.(2,2)
1
1→1→22
噼噼啪啪噼噼啪啪C.(-2,2) D.(2,-2)
D [由已知得2a-b=(2,4),a+b=(4,-10), 所以3a=(6,-6),a=(2,-2).]
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于( )
【导学号:84352225】
A.(1,-1) C.(-4,6)
B.(-1,1) D.(4,-6)
D [因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).]
→→→
5.已知点A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若BP=BA+mBC,且点P在y轴上,则m=( ) A.-2 1C.- 5
→→
B [设P(x,y),由题意AP=mBC,
??x-1=-5m,∴?
?y-2=m,?
1
B. 5D.2
1
∴P(-5m+1,m+2),又点P在y轴上,∴-5m+1=0,m=.]
5
二、填空题
→→→
6.如图2-3-16,在?ABCD中,AC为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=________.
图2-3-16
→→→
(-3,-5) [BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1), →
BD=BC+CD=BC-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).]
7.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图2-3-17所示,若c=λa+μb(λ,μ∈
→→→→
λ
R),则=________.
μ
2
噼噼啪啪噼噼啪啪图2-3-17
4 [以向量a的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设一个小正方形网格的边长为1,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由c=λa+μb,即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),得-λ+6μ=-1,1λ
λ+2μ=-3,故λ=-2,μ=-,则=4.]
2μ
8.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1+λ2=________.
【导学号:84352226】
1 [由c=λ1a+λ2b, 得(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3),
??λ1+2λ2=3,
所以?
?2λ1+3λ2=4,?
解得λ1=-1,λ2=2,
所以λ1+λ2=1.] 三、解答题
→1→→→1→
9.已知点A(-1,2),B(2,8)及AC=AB,DA=-BA,求CD的坐标.
33[解] 因为A(-1,2),B(2,8), →
所以AB=(2,8)-(-1,2)=(3,6), →
BA=(-3,-6),
→1→→1→
所以AC=AB=(1,2),DA=-BA=(1,2),
33
→
AD=(-1,-2),
→→→
所以CD=AD-AC=(-1,-2)-(1,2)=(-2,-4). 10.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), →→→→→
设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n; →
(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.
【导学号:84352227】
[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
3
噼噼啪啪噼噼啪啪=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
??-6m+n=5,∴???-3m+8n=-5,
??m=-1,
解得?
??n=-1.
→→→
(3)设O为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, →→
∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), ∴M(0,20).
→→→
又∵CN=ON-OC=-2b,
→→
∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), →
∴N(9,2),∴MN=(9,-18).
[冲A挑战练]
→
1.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°,设OC=→→
λOA+(1-λ)OB(λ∈R),则λ的值为( )
1A. 52C. 5
C [如图所示,∵∠AOC=45°,
1B. 32D. 3
→
设C(x,-x),则OC=(x,-x). 又∵A(-3,0),B(0,2),
→→
∴λOA+(1-λ)OB=(-3λ,2-2λ),
??x=-3λ,∴?
?-x=2-2λ?
2
?λ=.] 5
2.已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于( )
【导学号:84352228】
4
噼噼啪啪噼噼啪啪A.{(1,1)} C.{(1,0)}
A [a=(1,0)+m(0,1)=(1,m),
B.{(-1,1)} D.{(0,1)}
b=(1,1)+n(-1,1)=(1-n,1+n).
??1=1-n,
由a=b得?
??m=1+n,
解得?
??m=1,??n=0,
故P∩Q={(1,1)}.]
1→?ππ?3.已知A(2,3),B(1,4),且AB=(sin α,cos β),α,β∈?-,?,则α+
2?22?β=________.
ππ1→1?11?或- [因为AB=(-1,1)=?-,?=(sin α,cos β),
6222?22?11所以sin α=-,cos β=,
22πππ
所以α=-,β=-或,
633ππ
所以α+β=或-.]
62
4.等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.
【导学号:84352229】
(2,4) [设点D的坐标为(x,y). →→
因为DC=2AB,所以DC=2AB.
→
因为DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), →
AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
所以(4-x,2-y)=2(1,-1), 即(4-x,2-y)=(2,-2),
??4-x=2,所以?
?2-y=-2,?
??x=2,
解得?
?y=4,?
故点D的坐标为(2,4).]
10.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), →→→→→
设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
5
噼噼啪啪噼噼啪啪→
(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.
【导学号:84352227】
[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴???
-6m+n=5,??
-3m+8n=-5,
解得???
m=-1,
??
n=-1.
(3)设O为坐标原点,∵→CM=→OM-→
OC=3c, ∴→OM=3c+→
OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), ∴M(0,20).
又∵→CN=→ON-→
OC=-2b,
∴→ON=-2b+→
OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2),∴→
MN=(9,-18).
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2018年秋高中数学 课时分层作业19 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算 新人教A版必修4
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