大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
?1?2?1??24229.设矩阵A=??2?10??3332??6?6?. 23??34?0求：（1）秩（A）；
（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
?0?22???30.设矩阵A=??2?34?的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.
???24?3?31.试用配方法化下列二次型为标准形
22 f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ
2均是
2是其导出组
Ax=0的一个基础解系.试证明
Ax=b的解；
（2）η0，η1，η2线性无关。
答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 6.D 11.A 15. 6 16. ?17. 4 18. –10
19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1
222?z224. z12?z3?z4
2.B 7.C 12.B
3.B 8.A 13.D
4.D 9.A 14.C
5.C 10.B
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
?337??
??1?37?三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
?120??2?2?????25.解（1）ABT=?340??34?
??????121???10?共3页第16页
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?86?=????1810?. ?310??（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
120|A|=340??2.
?121所以|4A|=64·（-2）=-128
31?1251?1126.解
?513?43?1201?1??1110010
1?53?3?5?530511=?111?1 ?5?50511=?620??62?10?40.
?5?50?5?5?3027.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
??1?（A-2E）-1=?223????1?10????1?4?3????121??1?5?3??. ??164???所以 B=(A-2E)-1A=?1?4?3???1?5?3????423??110??
??164?????123???3?8?6=????2?9?6??. ??2129?????2130??0?53?2?28.解一 ?1?30?1????????1?30?1??0224???0112? ?34?19????013?112????1035??035?????0112???1112????0088?????0?0011?
?00?14?14????0000????1002?????0101????0011?,
?0000??所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
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??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?2即 ?1
2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
29.解 对矩阵A施行初等行变换
?1?2?1?000A?????032??0962??6?2? 8?2??3?2?02??1?2?10?1?2?1???0328?3?032?????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B. 3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列
向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.
?25/5??25/15?????经正交标准化，得η1=??5/5?，η2=?45/15?.
?0??5/3?????λ=-8的一个特征向量为
?1??1/3?????ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.
??????2???2/3??25/5215/151/3???所求正交矩阵为 T=??5/545/152/3?.
?05/3?2/3????100???对角矩阵 D=?010?.
???00?8??25/5215/151/3????5/32/3?.） （也可取T=?0?5/5?45/15?2/3???31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32
=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
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?y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2y2???设?y2?x2?x3， 即?x2?y2?y3?x??y3?3?y?x3?3，
?1?20???因其系数矩阵C=?011?可逆，故此线性变换满秩。
??001??经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形
y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ
2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而所以η0，η1，η2线性无关。
l0=0 .
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线性代数期末考试试卷+答案合集
