大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
?0???（2）?1?1的特征向量为?1???1?，
?1????1??0?2?2的特征向量为?2????， ?0????0??1?3?5的特征向量为?3????。 （3分） ?1???（3）因为特征值不相等，则?1,?2,?3正交。 （2分）
?0??1??0?1??1?????1p?0p?1? （2分） （4）将?1,?2,?3单位化得p1?，，23?????2??2???0?1?????1???0??1（5）取P??p1,p2,p3????2??1??2100?0??1? 2??1??2??100???（6）P?1AP??020? （1分）
?005???14、解：该非齐次线性方程组Ax?b对应的齐次方程组为
Ax?0
因R(A)?3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）
另一方面，记向量??2?1?(?2??3)，则
A??A(2?1??2??3)?2A?1?A?2?A?3?2b?b?b?0
直接计算得??(3,4,5,6)T?0，?就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为
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?3??2??????4??3?x?k???1?k?????，k?R。 （7分）
54?????6??5?????15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:
?0,?x1?x2?x3?x?2x?ax?0,?123 ?2x?4x?ax?0,23?1??a?1.?x1?2x2?x3 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.
对③的增广矩阵A作初等行变换得:
?1??1 A??1??1?1221a10??1??0??0??00?????0a?1??10??1a?10?. （4分） ?0(a?2)(a?1)0?01?aa?1??14a21°当a?1时，有r(A)?r(A)?2?3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
?1??0A??0??0?010??100?，
000??000????1???则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ?0?,
?1?????1???所以①与②的全部公共解为k?0?，k为任意常数. （4分）
?1???2° 当a?2时，有r(A)?r(A)?3，方程组③有唯一解, 此时
?1??0A??0??0?0??101?，
01?1??000??共3页第12页
00大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
?0??0?????故方程组③的解为:?1?, 即①与②有唯一公共解x??1?. （4分）
??1???1?????
线性代数习题和答案
好东西
第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符
合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m
a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，
=n，则行列式
等于（ ）
B. -(m+n) D. m-n
?100???2.设矩阵A=?020?，则A-1等于（ ）
???003??1??3 A. ?0??0??0120?0??0? ?1???
??10?1B. ?02???00??1??2D. ?0??0???0??0? ?1??3??1?00???3 C. ?010?? 1???00?2??
?00??1?0 3?01????3?12???3.设矩阵A=?10?1?，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）
????214? A. –6 B. 6
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C. 2
D. –2
B. B?C时A=0
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 C. A?0时B=C A. 1 C. 3
D. |A|?0时B=C B. 2 D. 4
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
6.设两个向量组α1，α2，?，αs和β1，β2，?，βs均线性相关，则（ ）
A.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+?λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+?+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+?+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs和不全为0的数μ1，μ2，?，μs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0
和μ1β1+μ2β2+?+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 11η1+η2是Ax=b的一个解 22 C.至少有一个r阶子式不等于0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 A.秩(A) B. D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1 D.方程组Ax=0只有零解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特 征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 C. k=3 B. k<3 D. k>3 B.|A|必为1 D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 C.A-1=AT A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??23?? ?34??34?? ?26?共3页第14页 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） B.?大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题 ?100??? C.?02?3? ???0?35? ?111???D.?120? ???102?第二部分 非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空 格内。错填或不填均无分。 11516? . ?1?11??123??，B=??.则A+2B= . ?11?1???1?24?× 15.39253616.设A=?17.设A=(aij)3 3 ，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则 (a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r( 21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . ?0106??2?????23.设矩阵A=?1?3?3?，已知α=??1?是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 . ??????2108??2?24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） ?120??23?1???T 25.设A=?340?，B=?（2）|4A|. ?.求（1）AB； ?240??????121?3110?5?13132?4?1?326.试计算行列式 ?521. ?423???27.设矩阵A=?110?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. ????123???2??1??3??0?????????1??3?0??1????28.给定向量组α1=??，α2=??，α3=??，α4=?. ?4?022?????????4???1??9??3?试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 共3页第15页
线性代数期末考试试卷+答案合集
