大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
??2???1???1???????③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c20 ??????????0???0???1?? 6.
13??1213??1?12?49??01?4?2??0010??????(a1，a2，a3，a4)???1?1?3?7??0?3?4?10??0?????0?3?1?70?3?1?7?????0?100?2??0102?????0011???0000??3?1?4?2??0?16?16??0?13?13?21
则 r?a1，a2，a3，a4??3，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a4??2a1?2a2?a3 7.
??1?E?A?00000?(??1)3?0
??1?2??1?000??1??0???????特征值?1??2??3?1，对于λ1＝1，?1E?A?000，特征向量为k0?l0 ?????????0?20???0????1??五、证明题
??A?I?A?AA??AI?A????I?A????I?A?
∴2?I?A??0， ∵?I?A??0
一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、设A，B为n阶方阵，满足等式AB?0，则必有（ ）
(A)A?0或B?0; (B)A?B?0； （C）A?0或B?0; (D)A?B?0。
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2、A和B均为n阶矩阵，且(A?B)2?A2?2AB?B2，则必有（ ） (A) A?E； (B)B?E； （C） A?B. (D) AB?BA。 3、设A为m?n矩阵，齐次方程组Ax?0仅有零解的充要条件是（ ） (A) A的列向量线性无关； (B) A的列向量线性相关； （C） A的行向量线性无关； (D) A的行向量线性相关. 4、 n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A的秩小于n； (B) A?0；
(C) A的特征值都等于零； (D) A的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）
5、若4阶矩阵A的行列式A??5，A?是A的伴随矩阵，则A?= 。 6、A为n?n阶矩阵，且A2?A?2E?0，则(A?2E)?1? 。
1??x1??1??12??????7、已知方程组?23a?2??x2???3?无解，则a? 。
?1a?2??x??4????3???22?tx3?2x1x2?2x1x3是正定的，则t的取值范围8、二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）
1?x11?x11111?y11111?y1119、计算行列式D?
10、计算n阶行列式
x1?3Dn?x1?x1x2?x2?xnxn?x2?3?
?xn?3
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程） 11、若向量组?1,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关。证明： (1) ?1能有?2,?3线性表出；
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(2) ?4不能由?1,?2,?3线性表出。
12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A?E可逆，且f(A)?(E?A)(E?A)?1。 证明
（1） (E?f(A))(E?A)?2E； （2） f(f(A))?A。
五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）
?200???13、设A??032?，求一个正交矩阵P使得P?1AP为对角矩阵。
?023???
?x1?x2?x3?14、已知方程组?x1?2x2?ax3?x?4x?a2x23?1?0?0与方程组x1?2x2?x3 ?a?1有公共解。
?0求a的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1，?2，?3是它的三个解向量，且
?2??1?????3???2??1???，?2??3???
43?????5??4?????求该方程组的通解。
解答和评分标准
一、选择题
1、C； 2、D； 3、A； 4、A。
二、填空题
5、-125; 6、； 7、-1； 8、t?。
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三、计算题
9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：
xD?01x01x0y01y11?x1
11?y0000y1000?y第二列减第一列，第四列减第三列得：D?1?x101 （4分）
按第一行展开得
?x1D?x00y100 ?y按第三列展开得
D??xy?x10y?x2y2。 （4分）
?n?10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子??xi?3?，再通过行列式的变换化
?i?1?为上三角形行列式
1x2?xnxn?n?1x2?3? （4分） Dn???xi?3????i?1??1x2?xn?31?n?0???xi?3??i?1??0?3n?1x2?xn3?0??0?3
?n?x?3??i? （4分） ?i?1?共3页第9页
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四、证明题 11、证明：
(1)、 因为?2，?3,?3线性无关，所以?2，?3线性无关。，
又?1，?2，?3线性相关，故?1能由?2，?3线性表出。 (4分) r(?1，?2，?3)?3，
（2）、（反正法）若不，则?4能由?1，?2,?3线性表出， 不妨设?4?k1?1?k2?2?k3?3。
由（1）知，?1能由?2，?3线性表出， 不妨设?1?t1?2?t2?3。
所以?4?k1(t1?2?t2?3)?k2?2?k3?3，
这表明?2，?3,?4线性相关，矛盾。 12、证明
（1）(E?f(A))(E?A)?[E?(E?A)(E?A)?1](E?A)
?(E?A)?(E?A)(E?A)?1(E?A)?(E?A)?(E?A)?2E （2）f(f(A))?[E?f(A)][E?f(A)]?1
由（1）得：[E?f(A)]?1?12(E?A)，代入上式得
f(f(A))?[E?(E?A)(E?A)?1]1112(E?A)?2(E?A)?(E?A)(E?A)?12(E?A)?12(E?A)?12(E?A)?A
五、解答题 13、解：
（1）由?E?A?0得A的特征值为?1?1，?2?2，?3?5。（4分）
（4分） （4分）
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线性代数期末考试试卷+答案合集
