………○ … … … … … … … … 师…老○导…辅… … … … 线 … 订 … 装 … … ○名 …姓 … … … … … … … 号 … 考 ○ 线… 班订… 装… … … …校 …学 … … ○ … … … … … … … … …) 县 ○ ( 市… 线… 订… 装… … … )市…辖…直…、○区…治…自…(…省… … … … … ○………第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
高二 第2试
2011年4月10日 上午9: 00至11: 00
得分
未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不 准以任何形式（包括网络）转载。
一、选择题（每小题4分，共40分.）以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请
将正确答案前的英文字母写在下面的表格内.
1.如图1，一个“半圆锥”的主视图是边长为2的正三角形，左视 主视图 左视图 图是直角三角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为（ ）
· （A）
33?. （B）
36?.
俯视图 图1 （C）23?. （D）3?.
x2两个正数a、b的等差中项是2，一个等比中项是3，则双曲线y22. a2?b2?1的离心率是（ ）
（A）3.
（B）10.
（C）
103. （D）10或103.
?x?03. 设x、y满足??y?0，则x?y??x?y?1x?2的取值范围是（ ）
（A）[0,1].
（B）[?1,0].
（C）(??,?).
（D）[?2,2].
4. 对于任意x?A，都有1?A，
则称集合A是“和谐”集.在集合M={0,1x2,1,2,3}的所有非空子集中，
“和谐”集有（ ）
（A）2个.
（B）3个.
（C）4个. （D）5个.
5. 已知函数f?x??x?2x的定义域为?0,???.设点P是函数f?x?的图像上的任意一点，过点P分别作直线
y?x和y轴的垂线，垂足分别为M,N，则PM?PN的值为（ ）
（A）1. （B）2. （C）3. （D）4.
6. 设函数f?x??3x?1?3x(x?R)，若?x?表示不大于x的最大整数，则函数y???f?x??1??1?2?????f??x??2??的值域是（ ）
（A）???3,3??2,2??3??33??. （B）???33??. （C）?-1,3??. （D）?????????3,2????33??. ?高二 第一页 共四页
7. 函数f(x)?m?1x?2有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（ ）
（A）[-1,+∞). （B）(-1,+∞). （C）[-1,1]. （D）[1,+∞).
8. 设函数f?x??ax2?bx?c?a,b,c?R?, f?0??1.设a?0,m?0,n?0且m?n?0,g(x)??f(x),x?0,?f(x),x?0.当
f?x?为偶函数时,那么g?m??g?n?（ ）
（A）大于零. （B）等于零. （C）小于零. （D）不能确定.
9. 已知函数f(x)?3sin(2x??6)?2sin2(x??12)(x????????4,4??),则f(x)的零点个数为（ ）
（A）0.
（B）1. （C）2.
（D）3.
10. Solution set of the inequality log12??x23?x?5??1?log325? with respect to x is（ ）
（A）?-5,4?.
（B）?-∞,4?.
（C）?4,+∞?.
（D）?-5,+∞?.
二、填空题（每小题4分，共40分.）
11. 若关于x的方程4x?(a?3)?2x?5?0至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a的取值范围为 .
12. 实数x,y满足2x2?4xy?2y2?x2y2?20，则22?x?y??xy的取值范围是 .
13. 若对任意x?R，不等式x?ax恒成立，则实数a的取值范围是 .
14. 过点P(0,5)作圆x2?y2?4的切线，则两个切点A、B所在的直线AB的方程是 .
15. 有一几何体是由圆柱被一个平面截得的，已知截面是一个椭圆，其长轴是5，短轴是4，被截后的圆柱最短母线长为1，则该几何体的表面积是 .
16. 已知数列3，7，11，15，……，则311是它的第 项.
17. 等边△ABC的边长为22，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD折起，使之与△ACD所在平面成120o
的二面角，这时A点到BC的距离是 .
18. 抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”的概率是 .
19. 经过两条直线2x?3y?3?0和x?y?2?0的交点，且与直线x?2y?5?0垂直的直线方程
为 .
20. 定义在R上的函数y?f(x)，它同时满足具有下述性质： ①对任何x?R均有f?x3??f3?x?；②对任何x1,x2?R,x1?x2均有f?x1??f?x2?
则f?0??f?1??f?-1?? ．
高二 第二页 共四页
三、解答题 每题都要写出推算过程. 21.（本题满分10分）
已知数列{an}和{bn}满足a1?2,an?1?an(an?1?1)，bn?an?1，数列{bn}的前n和为Sn. （1）设Tn?S2n?Sn，求证：Tn?1?Tn； （2）求证：对任意的n?N有1?
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23. （本题满分15分）已知如图，椭圆方程为
x216?yb22?1(4?b?0). P为椭圆上的动点，
F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
（1）求M点的轨迹T的方程；
（2）已知O(0,0)、E(2,1)，试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内
?n2?S2n?12?n成立．
横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S?OEQ?2？若存在，求出点Q的坐标， 若不存在，说明理由．
22. （本题满分15分）设函数f(x)?(x2?ax?b)ex(x?R)．
（1）若x?1是函数f(x)的一个极值点，试求出a关于b的关系式（用a表示b），并确定f(x)的单调区间；
（2）在（1）的条件下，设a?0，函数g(x)?(a2?14)ex?4．若存在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立，求a的取值范围．
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第二十二届希望杯全国数学邀请赛
