2020-2021备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30?、60?,此时无人机的飞
行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A'处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机A'上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）【解析】 【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过A'作A'E?BC交BC的延长线于E，连接A'D，于是得到A'E?AC?60，
23. 5CE?AA'?303，在Rt△ABC中，求得DC=
即可得到结论． 【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt△ABC中，AC=60m，
3AC=203，然后根据三角函数的定义3AC?AB==1=120（m）
sin30?602（2）过A'作A'E?BC交BC的延长线于E，连接A'D， 则A'E?AC?60， CE?AA'?30在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
3，
?DC=3AC=203 3?DE=503
?tan∠AA'D= tan∠A'DC=
60A'E23 ==DE503523． 5答：从无人机A'上看目标D的俯角的正切值是
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截. 【解析】 【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】
（1）在△ABC中，?ACB?180???B??BAC?180??37??53??90?. 在RtVABC中，sinB?3AC?，所以AC?AB?sin37?25??15（海里）. AB5答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.
（2）过点C作CM?AB，垂足为M，由题意易知，D、C、M在一条直线上. 在RtVACM中，CM?AC?sin?CAM?15?4?12，53AM?AC?cos?CAM?15??9.
5MD在Rt△ADM中，tan?DAM?，
AM所以MD?AM?tan76??36. 所以AD?AM2?MD2?92?362?917，CD?MD?MC?24.
设缉私艇的速度为v海里/小时，则有经检验，v?617是原方程的解.
24917，解得v?617. ?16v答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
3．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． ①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结
果）
【答案】（1）AE=CE；（2）①【解析】
试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得当CF=CD时，可得sin∠CED=
，从而有EC=AE=
=AD?AF．①
；②
．
CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得
，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当
CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题． 试题解析：（1）AE=CE．理由：
连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴∴
=AD?AF．
=DC?3DC==．
=DC?（a+2）DC=（a+2）
，
DC，=
．
；
，∴AE=
DC，∵EC=AE，
，
①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴∴EC=
DC，∴sin∠CAB=sin∠CED=
=
②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=∴AE=
DC，∵EC=AE，∴EC=
∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴
∴sin∠CAB=sin∠CED=
考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．
4．如图13，矩形为
．
的对角线
，
相交于点
，
关于
的对称图形
（1）求证：四边形（2）连接①求②若点
，若的值； 为线段的速度沿线段，到达点长和点
是菱形； ，
．
上一动点（不与点
匀速运动到点
重合），连接，再以
，一动点从点出发，以
的速度沿线段匀速运动到点
的
后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求
走完全程所需的时间．
②
和
走完全程所需时间为
【答案】（1）详见解析；（2）①
【解析】
试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求②先确定点
与
沿上述路线运动到点
四边形
交于点O,且
所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.
是矩形.关于
对称
；
试题解析：解：（1）证明：
四边形（2）①连接
关于
是菱形. ,直线
分别交
于点
,交
于点
的对称图形为
在矩形
为
中，为的中点，且O为AC的中点
的中位线
同理可得：为的中点，
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