计算自然数幂和公式的分析方法
阿曼尼萨·买合木提，邓 勇
【摘 要】针对自然数幂和问题，利用数学分析中的斯托尔兹定理，得到了一种计算自然数幂和通项公式的新方法，给出了其具体推导过程，并通过实例验证了该方法的有效性.此方法的优点是无需掌握其他技巧和记忆公式，只需计算极限即可获解.
【期刊名称】喀什大学学报 【年(卷),期】2017(038)003 【总页数】2
【关键词】斯托尔兹定理;极限;自然数的幂和
关于求自然数的幂和问题是一直是许多数学工作者研究的热点，并得到许多有益结果.马建荣、刘三阳等[1]给出了自然数幂和的定积分算法;邓勇[2]利用微积分知识，得到了自然数幂和的递推公式；孟凡申[4]给出用二项式系数表示自然数幂和通项公式系数的方法；郭松柏、沈有建[3]运用简单的初等方法，给出了幂和通项公式系数的具体算法;叶东进[5]通过揭示自然数幂和与多项式系数之间的规律，求出了自然数幂和的通项公式.
在上述各种自然数幂和的求法中，除文[2]以外，均属初等方法.虽然它们在理论推导上比较直观易懂，但是计算都较复杂.由于文[2]已揭示出自然数幂和通项公式的项之间可用导数联系，因此，是否可借助数学分析的工具来寻求解决方案？无独有偶，徐礼卡[6]恰好回答了这个问题.
为保持完整性，在此先回顾一下数学分析中计算数列极限的有力工具——斯托尔兹定理，它是罗比达法则在离散情况下的一种特殊形式.
斯托尔兹定理[7] 设{an}和{bn}是两个实数列.若{bn}无界且正严格递增（有限），则极限
众所周知，自然数的幂和是一个关于变量n的k+1次有理系数多项式[3-5].例如，
受文[6]启发，本文借助斯托尔兹定理来确定多项式Sk（n）的系数.此应用也再一次从侧面印证了斯托尔兹定理的强大威力. 假设
其中p0=0.为得到pk+1，用nk+1除以上面的表达式，然后求n→∞时的极限.因为nk+1是无界的正严格递增数列，所以利用斯托尔兹定理，可得 对所有的 n，当 j=1，2，…，k 时，有 因此，
上式分母中的最高次项是j·nj-1，又因上述极限存在，故分子中次数高于j-1的所有项必须消失，次数低于j-1的所有项对该极限无影响.这样，展开分子中的项并化简，可求出第（j-1）次项为 因此，
现应用公式（1）、（2）和归纳法，可计算出 pk+1，pk，…，p0.例如， 参考文献：
[1]马建荣，刘三阳，刘红卫.自然数幂和的定积分算法[J].高等数学研究，2009，12（6）：33-36.
[2]邓勇.关于自然数幂次和公式的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），2006，19（6）：28-31.
[3]郭松柏，沈有建.自然数方幂和的通项公式[J].高等数学研究，2010，13（1）：
61-63.
[4]孟凡申.自然数幂方和用二项系数表示的系数公式[J].数学的实践与认识，2010，40（20）：159-167.
[5]叶东进.幂次和表为n之多项式的系数律则[J].数学传播，2014，38（2）：59-65.
[6]徐礼卡.洛必达法则与幂和公式[J].宁波工程学院学报，2009，21（3）：56-59.
[7]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.
计算自然数幂和公式的分析方法
