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（2）g（x）=f（x）﹣2=a+b﹣2， g′（x）=alna+blnb=a[0＜a＜1，b＞1可得令h（x）=因此，x0=
+
x
x
x
xx
+，
]lnb，
，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，
时，h（x0）=0，
x
因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，alnb＞0，则g′（x）＜0．
x
x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，alnb＞0，则g′（x）＞0， 则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）． ①若g（x0）＜0，x＜loga2时，a＞
x
=2，b＞0，则g（x）＞0，
x
因此x1＜loga2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点， 则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．
②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，
00
由g（0）=a+b﹣2=0， 因此x0=0，因此
=0，﹣
=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．
可得ab=1．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．
20．（16分）（2016?江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N）和U的子集T，若T=?，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST=
*
*
++…+．例如：T={1，3，66}
时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1； （3）设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD． 【分析】（1）根据题意，由ST的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；
2k﹣1
（2）根据题意，由ST的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+3+…+3，由等比数列的前n项和公式计算可得证明； （3）设A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），则A∩B=?，进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB，分2种情况进行讨论：①、若B=?，②、若B≠?，可以证明得到SA≥2SB，即可得证明． 【解答】解：（1）当T={2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30， 因此a2=3，从而a1=
=1，
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故an=3
n﹣1
，
2
k﹣1
（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+3+…+3
=
＜3=ak+1，
k
（3）设A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），则A∩B=?，
分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB， 因此原命题的等价于证明SC≥2SB， 由条件SC≥SD，可得SA≥SB，
①、若B=?，则SB=0，故SA≥2SB，
②、若B≠?，由SA≥SB可得A≠?，设A中最大元素为l，B中最大元素为m， 若m≥l+1，则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾， 因为A∩B=?，所以l≠m，则l≥m+1， SB≤a1+a2+…am=1+3+3+…+3
2
m﹣1
=≤=
，即SA≥2SB，
综上所述，SA≥2SB， 故SC+SC∩D≥2SD．
【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】 21．（10分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．
【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．
【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°， 因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，
则：∠EDC=∠C，
由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°， 由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°， 因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C， 所以，∠EDC=∠ABD．
【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．
B.【选修4—2：矩阵与变换】
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22．（10分）（2016?江苏）已知矩阵A=阵AB．
，矩阵B的逆矩阵B=
﹣1
，求矩
【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B）=
﹣1﹣1
=，再利用矩阵乘法的性
质可求得答案． 【解答】解：∵B=
﹣1
，
∴B=（B）=
﹣1﹣1
=，又A=，
∴AB==．
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】
23．（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参
数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，
求线段AB的长．
【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．
【解答】解：由，由②得，
代入①并整理得，由
，得
，
．
两式平方相加得．
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联立，解得或．
∴|AB|=．
【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．
24．（2016?江苏）设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．
【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证． 【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜， 可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）| ≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜
+=a，
则|2x+y﹣4|＜a成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．
附加题【必做题】 25．（10分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛
2
物线C：y=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q． ①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②求p的取值范围．
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程． （2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解kPQ，通过P，Q关于直线l对称，点的kPQ=﹣1，推出
，PQ的中点在直线l上，推出
=2﹣p，即
可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
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②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y+2py+4p﹣
22
4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围． 【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0）， 即抛物线的焦点坐标（2，0）． ∴
，
2
∴抛物线C：y=8x．
（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：
，
即：
，kPQ=
=，
又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴
，
又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，
∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．
∴，即
∴
2
，即关于y+2py+4p﹣4p=0，有两个不相等的实数根，
2
22
∴△＞0，（2p）﹣4（4p﹣4p）＞0， ∴p∈
．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
26．（10分）（2016?江苏）（1）求7C
*
﹣4C的值； +（m+2）C
+（m+3）C
+…+nC
+
（2）设m，n∈N，n≥m，求证：（m+1）C（n+1）C
=（m+1）C
．
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2017年江苏高考数学试题解析版
