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14．（5分）（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 8 ．
【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．
【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC， 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC， 又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣则tanAtanBtanC=﹣
?tanBtanC，
②，
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1， tanAtanBtanC=﹣
=﹣
，
=（）﹣，由t＞1得，﹣≤
2
＜0，
因此tanAtanBtanC的最小值为8，
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角． 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长； （2）求cos（A﹣
）的值．
．
【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；
（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=， ∴sinB=， ∵
，
）的值．
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∴AB==5；
（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣∵A为三角形的内角， ∴sinA=∴cos（A﹣
， ）=
cosA+sinA=
．
．
【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．（14分）（2016?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；
（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F． 【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，
∵ABC﹣A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1，
∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F；
（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1，
又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵DE∥A1C1，
∴DE⊥平面AA1B1B，
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又∵A1F?平面AA1B1B， ∴DE⊥A1F，
又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE， 又∵A1F?平面A1C1F， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大． 17．（14分）（2016?江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；
（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=
m，A1B1=
?
m，代入体积公
式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值． 【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． ∴O1O=8m，
∴仓库的容积V=×6×2+6×8=312m， （2）若正四棱锥的侧棱长为6m， 设PO1=xm， 则O1O=4xm，A1O1=则仓库的容积V=×（
?
m，A1B1=
2
2
2
3
?
?
m，
）?4x=
2
）?x+（x+312x，（0
3
＜x＜6），
2
∴V′=﹣26x+312，（0＜x＜6），
当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增； 当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减； 故当x=2时，V（x）取最大值； 即当PO1=2m时，仓库的容积最大．
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．
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18．（16分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x+y﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得范围．
+
=
2
2
，求实数t的取值
222
【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）+（y﹣n）=n，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程． （2）由题意得OA=2
，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=
，
由此能求出直线l的方程． （3）
=
，即|
|=
]，欲使
，又|
|≤10，得t∈[2﹣2
，2+2
]，
对于任意t∈[2﹣2，2+2，只需要作直线TA的平行线，使圆心到
直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），
222
∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）+（y﹣n）=n，n＞0，
2222
又圆N与圆M外切，圆M：x+y﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）+（x﹣7）=25， ∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，
22
∴圆N的标准方程为（x﹣6）+（y﹣1）=1． （2）由题意得OA=2，kOA=2，设l：y=2x+b， 则圆心M到直线l的距离：d=
=
，
则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，
解得b=5或b=﹣15，
∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15． （3）|
|=
=
，即
，
，即|
|=|
|，
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又||≤10，即
，2+2
≤10，解得t∈[2﹣2]，欲使
，
，2+2]，
对于任意t∈[2﹣2此时，|
|≤10，
只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，
必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，
因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
19．（16分）（2016?江苏）已知函数f（x）=a+b（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设a=2，b=．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值； （2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值． 【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．
（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a+b﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=
x
x
x
x
+，
求出g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．
xx
【解答】解：函数f（x）=a+b（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设a=2，b=． ①方程f（x）=2；即：
=2，可得x=0．
≥m（
）﹣6恒成立．
②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即令t=
，t≥2．
不等式化为：t﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或
2
2
即：m﹣16≤0或m≤4， ∴m∈（﹣∞，4]．
实数m的最大值为：4．
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2017年江苏高考数学试题解析版
