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14.(5分)(2016?江苏)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 8 .
【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,进而得到tanB+tanC=2tanBtanC,结合函数特性可求得最小值.
【解答】解:由sinA=sin(π﹣A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinA=2sinBsinC, 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,①
由三角形ABC为锐角三角形,则cosB>0,cosC>0,
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC, 又tanA=﹣tan(π﹣A)=﹣tan(B+C)=﹣则tanAtanBtanC=﹣
?tanBtanC,
②,
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣,
令tanBtanC=t,由A,B,C为锐角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0, 由②式得1﹣tanBtanC<0,解得t>1, tanAtanBtanC=﹣
=﹣
,
=()﹣,由t>1得,﹣≤
2
<0,
因此tanAtanBtanC的最小值为8,
当且仅当t=2时取到等号,此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2, 解得tanB=2+,tanC=2﹣,tanA=4,(或tanB,tanC互换),此时A,B,C均为锐角. 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识,有一定灵活性.
二、解答题(共6小题,满分90分)
15.(14分)(2016?江苏)在△ABC中,AC=6,cosB=,C=(1)求AB的长; (2)求cos(A﹣
)的值.
.
【分析】(1)利用正弦定理,即可求AB的长;
(2)求出cosA、sinA,利用两角差的余弦公式求cos(A﹣【解答】解:(1)∵△ABC中,cosB=, ∴sinB=, ∵
,
)的值.
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∴AB==5;
(2)cosA=﹣cos(C+B)=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣∵A为三角形的内角, ∴sinA=∴cos(A﹣
, )=
cosA+sinA=
.
.
【点评】本题考查正弦定理,考查两角和差的余弦公式,考查学生的计算能力,属于基础题.
16.(14分)(2016?江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证: (1)直线DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【分析】(1)通过证明DE∥AC,进而DE∥A1C1,据此可得直线DE∥平面A1C1F1;
(2)通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D,进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F. 【解答】解:(1)∵D,E分别为AB,BC的中点, ∴DE为△ABC的中位线, ∴DE∥AC,
∵ABC﹣A1B1C1为棱柱, ∴AC∥A1C1, ∴DE∥A1C1,
∵A1C1?平面A1C1F,且DE?平面A1C1F, ∴DE∥A1C1F;
(2)∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱, ∴AA1⊥平面A1B1C1, ∴AA1⊥A1C1,
又∵A1C1⊥A1B1,且AA1∩A1B1=A1,AA1、A1B1?平面AA1B1B, ∴A1C1⊥平面AA1B1B, ∵DE∥A1C1,
∴DE⊥平面AA1B1B,
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又∵A1F?平面AA1B1B, ∴DE⊥A1F,
又∵A1F⊥B1D,DE∩B1D=D,且DE、B1D?平面B1DE, ∴A1F⊥平面B1DE, 又∵A1F?平面A1C1F, ∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
【点评】本题考查直线与平面平行的证明,以及平面与平面相互垂直的证明,把握常用方法最关键,难度不大. 17.(14分)(2016?江苏)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
【分析】(1)由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,可得PO1=2m时,O1O=8m,进而可得仓库的容积;
(2)设PO1=xm,则O1O=4xm,A1O1=
m,A1B1=
?
m,代入体积公
式,求出容积的表达式,利用导数法,可得最大值. 【解答】解:(1)∵PO1=2m,正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍. ∴O1O=8m,
∴仓库的容积V=×6×2+6×8=312m, (2)若正四棱锥的侧棱长为6m, 设PO1=xm, 则O1O=4xm,A1O1=则仓库的容积V=×(
?
m,A1B1=
2
2
2
3
?
?
m,
)?4x=
2
)?x+(x+312x,(0
3
<x<6),
2
∴V′=﹣26x+312,(0<x<6),
当0<x<2时,V′>0,V(x)单调递增; 当2<x<6时,V′<0,V(x)单调递减; 故当x=2时,V(x)取最大值; 即当PO1=2m时,仓库的容积最大.
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积,导数法求函数的最大值,难度中档.
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18.(16分)(2016?江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x+y﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程; (3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得范围.
+
=
2
2
,求实数t的取值
222
【分析】(1)设N(6,n),则圆N为:(x﹣6)+(y﹣n)=n,n>0,从而得到|7﹣n|=|n|+5,由此能求出圆N的标准方程. (2)由题意得OA=2
,kOA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离:d=
,
由此能求出直线l的方程. (3)
=
,即|
|=
],欲使
,又|
|≤10,得t∈[2﹣2
,2+2
],
对于任意t∈[2﹣2,2+2,只需要作直线TA的平行线,使圆心到
直线的距离为,由此能求出实数t的取值范围.
【解答】解:(1)∵N在直线x=6上,∴设N(6,n),
222
∵圆N与x轴相切,∴圆N为:(x﹣6)+(y﹣n)=n,n>0,
2222
又圆N与圆M外切,圆M:x+y﹣12x﹣14y+60=0,即圆M:((x﹣6)+(x﹣7)=25, ∴|7﹣n|=|n|+5,解得n=1,
22
∴圆N的标准方程为(x﹣6)+(y﹣1)=1. (2)由题意得OA=2,kOA=2,设l:y=2x+b, 则圆心M到直线l的距离:d=
=
,
则|BC|=2=2,BC=2,即2=2,
解得b=5或b=﹣15,
∴直线l的方程为:y=2x+5或y=2x﹣15. (3)|
|=
=
,即
,
,即|
|=|
|,
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又||≤10,即
,2+2
≤10,解得t∈[2﹣2],欲使
,
,2+2],
对于任意t∈[2﹣2此时,|
|≤10,
只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为,
必然与圆交于P、Q两点,此时||=||,即,
因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2,2+2],. 【点评】本题考查圆的标准方程的求法,考查直线方程的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用.
19.(16分)(2016?江苏)已知函数f(x)=a+b(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,求实数m的最大值; (2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点,求ab的值. 【分析】(1)①利用方程,直接求解即可.②列出不等式,利用二次函数的性质以及函数的最值,转化求解即可.
(2)求出g(x)=f(x)﹣2=a+b﹣2,求出函数的导数,构造函数h(x)=
x
x
x
x
+,
求出g(x)的最小值为:g(x0).同理①若g(x0)<0,g(x)至少有两个零点,与条件矛盾.②若g(x0)>0,利用函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点,推出g(x0)=0,然后求解ab=1.
xx
【解答】解:函数f(x)=a+b(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b=. ①方程f(x)=2;即:
=2,可得x=0.
≥m(
)﹣6恒成立.
②不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,即令t=
,t≥2.
不等式化为:t﹣mt+4≥0在t≥2时,恒成立.可得:△≤0或
2
2
即:m﹣16≤0或m≤4, ∴m∈(﹣∞,4].
实数m的最大值为:4.
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2017年江苏高考数学试题解析版
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