韦达定理及应用
【知识要点】
1. 韦达定理的表达式
2. 韦达定理所要描述的是根与系数的关系 3. 韦达定理的变形及常见变形要熟练
【典型练习】
例1.（1）关于x的方程x2?px?q?0的两根同为负数，则（ ）
A．p>0且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0
（2）若关于x的一元二次方程x2?kx?4k2?3?0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1?x2?x1x2.则k的值为（） （A）－1或
33 （B）－1 （C） （D）不存在 442（3）已知方程x?bx?a?0有一个根是?a(a?0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A．ab B．
a C．a?b D．a?b b（4）若x1，x2是一元二次方程x2?5x?6?0的两个根，则x1+x2的值是（ ）.
A．1 B．5 C．?5 D．6
2（5）若方程x?3x?1?0的两根为x1、x2，则
11?的值为( x1x2).
A．3 B．－3 C．
1 3 D．?1 3222（6）关于x的一元二次方程x?mx?2m?1?0的两个实数根分别是x1、x2，且x1?x2?7，则(x1?x2)2的值
是（ ） A．1
B．12
C．13
D．25
2（7）已知一元二次方程2x?3x?1?0的两根为x1、x2，则x1?x2?
2（8）已知x1，x2是方程x?6x?3?0的两实数根，则
x2x1?的值为______ x1x2（9）已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ．
例2.若x1,x2是方程x2?2x?2007?0的两个根，试求下列各式的值： (1) x12?x22； (2)
(3) (x1?5)(x2?5)；
（5）x1、x2是方程2x2?3x?5?0的两个根，求x1?3x2?3x2
例3.已知关于x的方程x2?2(m?2)x?m2?4?0两根的平方和比两根的积大21，求m的值
2例4.关于x的方程kx?(k?2)x?11?； x1x2 （4）|x1?x2|．
22k?0有两个不相等的实数根. 4(1)求k的取值范围。
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
例5.已知关于x的方程x2?(m?2)x?2m?1?0．
（1）求证方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
例6．已知一元二次方程ax?2bx?c?0的两个实数根满足x1?x2?22，a，b，c分别是?ABC的?A，
?B，?C的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若a?c，求?B的度数。
例7.设方程x＋px＋q＝0的两根之差等于方程x＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．
2
2
例8.已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,?方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,?方程的两个根一个大于1,另一个小于1.
例9.已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,?y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以
y1，y2为根的一元二次方程.
2例10. 已知x1,x2是一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个实数根．
(1) 是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??(2) 求使
3成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由． 2x1x2??2的值为整数的实数k的整数值． x2x1
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