【精品】2020年高考数学总复习专题讲义★☆
一．方法综述
高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二．解题策略 类型一 距离最值问题
【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（ ）
A． 【答案】B 【解析】
B．1 C． D．2
以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．所以
，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣
．
＝（4，4，4﹣z），
＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，
当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．
1
故选：B．
【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出
最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D. 【举一反三】
1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】
解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；
则，，底面CDEB， ，
结合图形中的数据，求得
2
在同理求得
中，由勾股定理得
，
，
．故选：A．
2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为 A．C．
B．D．
中，侧棱OA，OB，
【答案】B 【解析】
当小球与三个侧面，，及底面都相切时，小球的体积最大
的内切球
此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥设其半径为
由题可知因此
本题正确选项：
3、如右图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中， E为棱CC1的中点，点P,Q分别为面A1B1C1D1 3
和线段B1C上的动点，则?PEQ周长的最小值为_______．
【答案】10 【解析】将面A1B1C1D1与面BB1C1C折成一个平面，设E关于B1C1的对称点为M，E关于B1C 对称点为N,则?PEQ周长的最小值为MN?类型二 面积的最值问题
【例2】【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体
，
则三角形A． 【答案】C 【解析】
补全截面EFG为截面EFGHQR如图，
分别是棱
的中点，是底面
内一动点，若直线
中，与平面
，
没有公共点，
32?1?10.
面积的最小值为（ ）
B．
C．
D．
其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1∥平面EFGHQR，
∵直线D1P与平面EFG不存在公共点， ∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，
∴P∈AC，∴过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=△PBB1的面积最小，
,此时BP最短，
4
∴三角形故选：C．
面积的最小值为，
【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解． 【举一反三】
1、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形旋转至
位置，若二面角
，
，
，将
绕
边
的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】
如图，，，分别为四面体
，
，
的中点，作，
，面
，作
面.设
，连，
，
，易知点即为，则
，
的外接球心，
，，.
【处理一】 消元化为二次函数.【处理二】
.
5
【精品】2020年高考数学总复习专题讲义★☆专题4.4 立体几何中最值问题 (解析版)
