最新 第8讲
立体图形的表面积
1. 掌握一些求不规则立体图形的表面积的方法. 2. 理解立体图形在分割和拼接过程中表面积的变化
本讲着重介绍求立体图形的表面积的方法,其中之一是三视图法,并介绍了立体图形在粘贴、分割过程中表面积的变化规律，要引导学生做好总结．
如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱． 1．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
G（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．） H
2．长方体的表面积和体积的计算公式是： EF长方体的表面积：S长方体的体积：V
长方体
； ?2（ab?bc?ac）
DaCcBb长方体
?abc．
A
3．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S
正方体
?6a2，V
正方体
?a3．
分割后立体图形的表面积
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【例 1】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么
它的表面积减少了多少?
【分析】 原来正方体的表面积为5?5?6?150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它
们的面积为(3?2)?2?12，所以减少的面积就是12．
［拓展］ 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的
几何体的表面积是多少？
［分析］ 我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：
10?10?6?600．
【例 2】 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面
上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【分析】 大立方体的表面积是20?20?6?2400平方厘米．在角上挖掉一个小正
方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况
是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454?2400）?6?9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．
［巩固］ 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l
厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
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［分析］ 原正方体的表面积是4?4?6?96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同
时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96?4?6?120平方厘米．
【例 3】 如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个
截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长．
【分析】 原来正方体的表面积为：6?3a?3a?6?9a2（平方厘米），
六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6?a?a?6a2（平方厘米）；
挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a?a?4?2?8a2（平方厘米）； 根据题意可得：54a2?6a2?3?8a2?2592，解得a2?36（平方厘米），故a?6厘米．
［巩固］ 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方
1体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖
21法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
4 ［分析］ 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2?2?2?8（平方厘米）；左右方
11向、前后方向：2?2?4?16（平方厘米），1?1?4?4（平方厘米），??4?1（平方厘米），
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最新 11111，这个立体图形的表面积为：8?16?4?1??29（平方厘米）. ??4?（平方厘米）
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【例 4】 （《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘
米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
【分析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．
图1 图2 图3 图4 【例 5】 如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每
条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【分析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了
(3?1)?(4?1)?(5?1)?9刀，而原正方体一个面的面积1?l?1(平方米)，所以表面积增加了9?2?1?18(平方米)．原来正方体的表面积为6?1?6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6?18=24(平方米)．
［巩固］ 右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，
这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？
［分析］ 10?10?6?600(平方厘米)．
【例 6】 右图是由27块小正方体构成的 3?3?3的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小
正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，
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最新 表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？
3【分析】 对于由n块小正方体构成的n?n?n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12?
（n?2）块，一面涂有红色的有6?(n?2)2块，没有涂色的有(n?2)3块．由题设条件，一点红色
也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即(n?2)3?8?8，解得n?6．
［铺垫］ （05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方
体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？
［分析］ 长：3?1?1?5厘米；宽：1?1?1?3厘米；高：1?1?1?3厘米；所以原长方体的表面积是：
（3?5?3?5?3?3）3?2?78平方厘米．
组合立体图形的表面积
【例 7】 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表
面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
【分析】 4?4?(1?1?2?2?4?4)?4?100(平方米)．
［巩固］ 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表
面积．
［分析］ 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：
小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5?5?2?50(平方分米)；侧面：5?5?4?100(平方分米)，4?4?4?64(平方分米)．这个立体图形的表面积为：50?100?64?214(平方分米)．
【例 8】 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面
积是多少平方厘米？
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第8讲定稿.立体图形的表面积竞赛班定稿.教师版定稿.doc
