14年高考真题——理科数学(湖北卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）
一．选择题
?1?i? 1．i为虚数单位，???（ ）
?1?i?（A）?1 （B）1 （C）?i （D）i
721a??2．若二项式?2x??的展开式中3的系数是84，则实数a?（ ）
xx??（A）2 （B）54 （C）1 （D）24
3．U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得A?C，B?e是“AUC”
B??”
的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4．根据如下样本数据得到的回归方程x 3 4 5 6 7 8 ?y 4.0 2.5 ?0.5 0.5 ?2.0 ?3.0 为y?bx?a，则（ ）
（A）a?0,b?0 （B）a?0,b?0 （C）a?0,b?0 （D）a?0,b?0
5．在如图所示的空间直角坐标系O?xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是?0,0,2?，?2,2,0?，?1,2,1?，?2,2,2?。给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分
别为（ ） （A）①和② （B）③和① （C）④和③ （D）④和②
6．若函数f?x?,g?x?满足??1f?x?g?x?d?x??0，则称f?x?,g?x?为区间??1,1?上
1的一组正交函数。给出三组函数：①f?x??sinxx②f?x??,g?x??cos；xg,x??x?222；
③f?x??x?1,g?x??x?1。其中为区间??1,1?的正交函数的组数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
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?x?0?x?y?1?7．由不等式?y?0确定的平面区域记为?1，不等式?，确定的平面
?x?y??2?y?x?2?0?区域记为?2，在?1中随机取一点，则该点恰好在?2内的概率为（ ） （A）
1137 （B） （C） （D） 84488．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式v?它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率?近似取为3。那么近似公式v?12Lh.3622Lh相当于将圆752225157355锥体积公式中的?近似取为（ ）（A） （B） （C） （D）
7850113 9．已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且?F1PF2?则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） （A）?3,
4323 （B） （C）3 （D）2 33 10．f?x?是定义在R上的奇函数，x?0时，f?x??1|x?a2|?|x?2a2|?3a2?。?2若?x?R，f?x?1??f?x?，则实数a的取值范围为（ ） （A）???66??33??11??11?,? （B）???,,, （C） （D）???? ???66??33??66??33?二．填空题
（一）必考题
11．设向量a??3,3?，b??1,?1?，若a??b?a??b，则实数?? 。
22 12．直线l1:y?x?a和l2:y?x?b将单位圆C:x?y?1分
????成长度相等的四段弧，则a2?b2? 。
13．设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I?a?，按从大到小排
D?a??851）成的三位数记为D?a?（例如a?815，则I?a??158，。
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b? 。
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14．设f?x?是定义在?0,???上的函数，且f?x??0，对任意a?0,b?0，若经过点
?a,f?a??,?b,f?b??的直线与x轴的交点为?c,0?，则称c为a,b关于函数f?x?的平均数，记
为Mf(a,b)。例如，当f?x??1?x?0?时，可得Mf?a,b??c?a?b，即Mf?ab,2?为a,b的算术平均数。⑴当f?x?? ?x?0?时，Mf?a,b?为a,b的几何平均数；⑵当
f?x?? ?x?0?时，Mf?a,b?为a,b的调和平均
数
2ab。（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） a?b15．如图，P为⊙O的两条切线，切点分别为A,B，过PA（二）选考，
的中点Q作割线交⊙O于C,D两点，若QC?1,CD?3，则PB? 。
?x?t?16．已知曲线C1的参数方程是?，以坐标原点为极点，x轴的正3t（t为参数）
?y?3?半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是??2，则C1与C2交点的直角坐标为 。
三．解答题
17．（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：C）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系：f?t??10?3cos0
?120
t?sin?12t?0?t?24?。⑴求实验室这一天
的最大温差；⑵若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温？
18．（本小题满分12分）已知等差数列?an?满足：a1?2，且a1,a2,a5成等比数列。⑴求数列?an?的通项公式；⑵记Sn为数列?an?的前n项和，是否存在正整数n，使得
Sn?60n?800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由。
19．(本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体
ABCD?A1B1C1D1中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且
DP?BQ???0???2?。⑴当??1时，证明：直线BC1平面
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14年高考真题——理科数学(湖北卷)
EFPQ；⑵是否存在?，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角？若存在，求出
?的值；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。单位：亿立方米）都在40以上。其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立。⑴求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；⑵水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系。若某台发年入流量X 40?X?80 80?X?120 X?120 电机运行，则该台年发电机最多可运行台数 1 2 3 利润为5000万元；
若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21．（满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F?1,0?的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C。⑴求C的方程；⑵设斜率为k的直线l过定点P??2,1?，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。
22．?为圆周率，e?2.718283e为自然对数的底数。⑴求函数f?x??3elnx的单调区xe间；⑵求e,3,e,?,3,?这6个数中的最大数与最小数；⑶将e,3,e,?,3,?这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。
?e?3??32014年普通高校招生全国统考数学试卷湖北卷解答
一．ACCBD CDBAB
二．11．?3；12．2；13．495；14．⑴x，⑵x；15．4；16． 17．解：⑴由题f?t??10?2sin??3,1 ??????7???t??，又0?t?24，故?t??，
3?31233?12?????????????1?sin?t???1。sin?t???1；sin?t????1。当t?2时，当t?14时，
3?3?3??12?12?12于是f?t?在?0,24?上取得的最大值是12，最小值是8。故实验室这一天的最高温度为12C，最低温度为8C，最大温差为4C；
0
00
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⑵依题意，当f?t??11即sin???1??t????时，实验室需要降温。由0?t?24得
3?2?12?3??12t??3?7?7???11?，故，即10?t?18。故在10时至18时实验室?t??361236需要降温。
18．解：⑴设数列?an?的公差为d，则2,2?d,2?4d成等比数列，故有
?2?d?2an?2；an?4n?2。解得d?0或d?4。当d?0时，当d?4时，?2?2?4d?，
从而得数列?an?的通项公式为an?2或an?4n?2；
⑵当an?2时，Sn?2n?6n?800，此时不存在正整数n，使得Sn?6n?800成立；
22当an?4n?2时，Sn?2n。令2n?60n?800，解得n?40或n??10（舍去），此时
存在正整数n，使得Sn?6n?800成立，n的最小值为41。综上，当an?2时，不存在满足题意的正整数n；当an?4n?2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41。
19．解：以D为原点，射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得B?2,2,0?，
C1?0,2,2?，E?2,1,0?，F?1,0,0?，P?0,0,??，BC1???2,0,2?，FP???1,0,??，FE??1,1,0?。⑴当??1时，FP???1,0,1?，
因为，所以BC1?2FP，即BC1//FP。而FP?平面EFPQ，且
BC1?平面EFPQ，故直线BC1//平面EFPQ；
??FE?n?0?x?y?0⑵设平面EFPQ的一个法向量为n??x,y,z?，则由?得?，于
?x??z?0??FP?n?0?是可取n???,??,1?。同理可得平面MNPQ的一个法向量m????2,2??,1?。若存在?，使平面EFPQ与平面MNPQ所成的二面角为直二面角，则m?n?0，即
????2????2????1?0，解得??1?MNPQ所成的二面角为直二面角。
20．解：⑴由题p1?P?40?X?80??22。故存在??1?，使平面EFPQ与平面221035?0.2，p2?P?80?X?120???0.7，5050p3?P?X?120??05?0.1。由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过5041343120的概率为p?C4?1?p3??C4?1?p3?p3?0.9?4?0.9?0.1?0.9477；
⑵记水电站年总利润为Y（单位：万元）。①安装1台发电机的情形：因水库年入流量
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