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高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟 Advanced Assessment for Admission（AAA）
数 学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求
的。
1． 已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(PB?PA)(PB?PA?2PC)?0，
则△ABC一定为( )
A．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形
2．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包
括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为______
A.
7 B.
73 C. 3 D. 223.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为______
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n?1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 A . B.
C. D. 5．已知?,??R，直线
xyxy??1与??1
sin??sin?sin??cos?cos??sin?cos??cos?的交点在直线y??x上，则sin??cos??sin??cos?? 。
A.0 B.1. C-1 D.2
6．设f(x)?1111??f(x)?f()?_________。 ，则
1?2lgx1?4lgx1?8lgxxA 1 B 2 C 3 D 4
17． 已知cos4??，则sin4??cos4?? ．
5A 4/5 B 3/5 C1 D -4/5
8．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD?A?B?C?D?中，AB?1，AA??2，则A，C两点间的球面距离为（ ） A．
? ? B．
? ? C．2? 4 D．
2? 29. 在平面直角坐标系内，将适合x?y,x?3,y?3,且使关于t的方程(x3?y3)t4?(3x?y)t2?1?0没x?y有实数根的点(x,y)所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。
A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/5
x2y210. 已知椭圆?右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ?1的左、
43内切圆面积的最大值是 ．
A B C
二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
D 一．设f(x)?x2?bx?c(b,c?R)．若x≥2时，f(x)≥0，且f(x)在区间?2,3?上的最大值为
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1，求b2?c2的最大值和最小值．
x2y2425二、已知椭圆C：2?2?1（a?b?0），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求a,b之值；
ab52（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺
时针方向排列），求P点的轨迹方程。
三.（本小题满分25分）已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2－（3k+2k）x+3k×2 k =0的两个根.
（1）求数列{an}的前2n项和S2n.
f(3)f(n?1)f(2)f(4)（-1）（-1）（-1）（-1）15|sinn|1（2）记f（n）=（+3），Tn=+++…+，求证：≤Tn≤（n∈N+）
224a3a4a2n?1a2na1a2a5a6sinn6
x2y2四、已知椭圆 2?2?1 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线y?x的交点为B、C。现有以
ab2A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 ?e2?1 时，
3求实数m的取值范围。
五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
1，某植物研究所进行该种子的发芽实验，3每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设?表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值
（1）求随机变量?的数学期望E?；
（2）记“关于x的不等式?x2??x?1?0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。
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数学 答案及详解
1． 解：因为PB?PA?AB,PB?PA?2PC?CB?CA，所以已知条件可改写为AB?(CB?CA)?0。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。
3)，P(x,y,0).于是有233333
AM?(0,1,)M,P?x(y?,,由于).)?(x,y,?)?0，即y?，此为P点形成AM⊥MP，所以(0,1,22224
327的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为21?()?。 因此 选 B。
422． 解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),S(0,0,3), M(0,0,3. B 4.. 答：
1 6101。如果n若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1~n?1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了a1,a2,,an，则概率为
111???2011a1a2p???1111???，所以所求概率为 an999999?1111??? an99999911?11????1???1? ?????20091000999?????998?1?1?1?1??????1????1? 11?09?8??111???2011a1a2 ?1?1??1?1????201?120?1?01?1?1????1? ?1????9?8?100?99?注意到
1?1?1??1?1?1?????2011?2010??2009?1??1??1??1??1??1????????1000??999??998??1?1?
两式相除即得p?1111???6。 100010010105．解：由已知可知，可设两直线的交点为(x0,?x0)，且sin?,cos?为方程
x0?x0??1，
t?sin?t?cos?的两个根，即为方程 精品文档
最新华约自主招生全真模拟-数学AAA(含答案以及详解)
