2009级（下）A卷
一：填空与选择题
1. 一动点到
(每空3分，共30分)
(1,0,0)的距离为到平面
x4的距离的一半
, 则动点的轨迹方程是
___________________。2. z
z(x,y)由方程
10
xz
ln
2yy
2
zy
所确定，则
zy
=______________ 。
3. 改变积分顺序
dynn1
f(x,y)dx
_________ _。
4. 若级数
n1
(un)收敛，则limun= ______________。
n
5
L
为圆周xacost,y
xdyz
2
asint(0t2), 则积分
?
L
(x
2
y)ds=_______。
22
6 方程(2x7设
y)dxy
2
0的通解是_________________。
:x
2
1，则(2x)dxdydz= ( )
43
83
83
3
A 0
8. 下列级数中收敛的是
B4
( )
C4D
A
n1
n
23
1n
2
2n
B
n12
2
sinz
n
2
C
n1
32n1x
2
D
n1
2
2
cosn2n1
9. 设
是半球面x
3
ya(z
3
0)，则y
3
zdS的值为( )
A4a
B2aC-2aD-4πa
x,y2
x
e,
x
3
10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：
y1
(
)
y3
1x
e，则该微分方程的通解可表达为
x
x
AC1xC2eCC1e
x
e
x
xx
BC1(xDC1x
x4
5
e)
x
C2(1
x
x
e)e
x
x
x
C2(1e)
x
C2(1xe)
二：（9分）求过点M(3,1,2)且通过直线
y3z
的平面方程。
21
y
三：（8分）设f(u,v)的二阶偏导连续, z
。f(x,),求
xyx
y
2
z
四：（9分）求微分方程y2ye(x
x2
x3)的通解。
1
五：（9分）计算
D
yx2
x
y2d
其中D是由直线y
x
2
x,x1,y0围成的闭区域。
六：（9分）计算上半圆周。七：（８分）将函数八：（9分）在平面
(esiny5y)dx(ecosyL
14x1
x)dy，其中L是从O(3,0)到A(3,0)的
f(x)
，展开为(x1)的幂级数并给出收敛域．
xoy上求一点，使它到x0,y0及x2y160三条直线的距离平
方之和为最小。九：（9分）设曲面为抛物面
z
1
3
x
2
y(0
3
2
z
1)，取上侧, 计算
xdydzydzdx2dxdy．2008级（下）A卷
一：填空题(31 曲面z
9xy
27)
y在(1,1,3)处的切平面方程是___
绕x轴旋转所形成的旋转曲面的方程为
3
x
3
____。
2 曲线
L：
yz
x0
。
3 函数z4 累次积分5 设
z(x,y)由方程xy
ez
z所确定,则dz=
。
。
2
I
2
01
dx
1x1x2
f(x,y)dy交换积分次序后，1,到x1的一段弧, 则
2
I
ydxxdy______
______。
__。
L
是yx上从x5y
n
n1
L
6 微分方程y6y3xny
47
n
xe的特解形式是___
2x
7 幂级数
n1
(1)x
32
的收敛区间是
8 直线
L：
z3
与平面
：4x2y
上；
2z3的关系是
。
A平行；
lnn
n1
B垂直相交；CL在
。
D相交但不垂直。
1
n1
9 下列级数中，发散的是
A
n
2
；
B
n1
ntan
2
n1
；
C
n1
(1cos
n
)；
D
nn1
；
二：(6)设zf(t)，t(xy,x
2
y)，其中f有二阶连续导数,
2
有二阶连续偏导数，
2
求zxy。三：(6)将函数
f(x)
xd
1x
2
4x3
展开成x的幂级数。
2
四：(6)计算
D
，其中D为由不等式x
y
2xx确定。
是下半球面
五：(7)计算
取上侧.
Ixdydzydzdx(z
2
其中z)dxdy，z－a
2
x
2
y
2
六：(7)判断级数
n2
sin(n
1lnn
)是绝对收敛,条件收敛还是发散。lnx)dx
0。
七：(7)求解方程xdy八：(7)将长为
2y(lny
l的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，
才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。九：(7)设
D是单连通区域，函数P,Q在区域D上一阶偏导是连续的，证明：在区域D内
Q(x,y)dy是某函数的全微分的充要条件是
Qx
Py
在区域
P(x,y)dx
D内恒成立。
2007级（下）A卷
一：填空题(2
12yx
24)
1设zarctan
，则dz|x
y
21
__________________。
2级数
n1
1
(2n1)(2n1)
______________
3曲面4设
x
是z
y
x
2
2z1
y及z
2
4在(1,1,2)处的切平面方程是1所围成的闭区域，则
f(x
________________。
2
y,z)dv在柱坐标系下的三
2
次积分是5设
________________。
x在(0,0)与(1,1)的一段，则
L
L是直线y
e
x2y2
ds=________________。
6设f(x)是以
2为周期的周期函数，在(,]上f(x)x1，它的Fourier级数为
3
a02
7幂级数
n1
(ancosnx
n
n
bnsinnx),则a1=________________。
2
n1
4n
(x
14
)的收敛区间（不考虑端点收敛性）是
n
________________。
8方程
dydx
3
3
dydx
2
2
dydx
y
20
0的通解是________________。
9 交换二重积分的积分次序10微分方程y11ln(112若I1
D1
dx
2xx
f(x,y)dy
y(0)
________________________。
e
2xy
满足初始条件
0的特解为________________。
2x)的麦克劳林级数为
(1
x)d
________________。
x
1，y
1；I2
D2
，其中D1：
xyd
，其中D2：x
2
y
2
1
则
_______。
0,I2
0；BI1
0,I2
0；CI1
0,I2
0；DI1
0,I2
0
AI1
x4
二：(6)求过点A(3,1,2)且通过直线
5
三：(6)已知
y32z
的平面方程。1
g(x,y)，其中f,g均可微，求
z。x
zf(x,u,v),u
e(x
2x
sin(x
y
2
2
2y),v
四：(6)求函数f(x,y)五：(6)计算
L
2y)的极值。
(exsiny8y)dx(excosy7x)dy，其中L是从O(0,0)到A(6,0)的上半
圆周。六：(8)求球面x
体积。七：(8)计算
2
y
2
z
2
4z与锥面zx
2
y所围的包含球心的那部分区域
2
2
2
的
(x
2
y
2
z)dxdy，其中
,
2
为z
xy(z1)的下侧。
八：(8)设可微函数f在((x
2
)上满足
2
f(t)2
x
2
y)f(xy)dxdy
2
4
t，求f(x)。
y
2
t
2
ln
九：(8)设an
1an
q存在，证明：当q
1时，级数
n1
0，且lim
n
lnn
an收敛。
4
2006级（下）A卷
一填空（每小题3分共15分）1 曲面z
x
2
y
2
1在点(2,1,4)的切平面的方程为___________。
z
2 设隐函数z
z(x,y)是由方程ey
z
xze
y
2确定的，则
zx(0,0)z)dS
______。__________。
3 设
是平面x1在第一卦限部分，则
(xx
0
y
4 设f(x)周期为
2，且f(x)
x,e,
x
0x
，S(x)是f(x)的Fourier级数的和
函数，则S(0)______________。
5 设幂级数
n1
anx在x
n
2处条件收敛，则幂级数
n1
an3
n
x的收敛半径为
n
。
二选择（每小题1 设
2分共10分）
）
D是平面区域，则下面说法正确的是（
（A ）若f(x,y)在（B）若f(x,y)在（C）若f(x,y)在（D）若在
D上可微，则f(x,y)的一阶偏导在D上一定连续；D上一阶偏导存在，则D上一阶偏导存在，则
f(x,y)在D上一定可微；f(x,y)在D上一定连续；
fyx(x,y)。
D上fxy与fyx均连续，则fxy(x,y)
（
）
2 下列级数中绝对收敛的级数是（A）
n1
(1)
n
n2
n
；（B）
n1
ln(1y
1n
); （C）
n1
(1)sin
n
1n
; （D）
n1
(1)
n
nn1
。
3 直线过点(0,03)且与直线
xz垂直相交，则交点的坐标是（
（C）(1,1,2)；
）
（A）(2,2,1)；（B）(1,1,1)；4 方程y (A)
2
（D）(0,0,0)。
z
2
4x
8
0表示
。
；（C）锥面；（D）旋转抛物面。
单叶双曲面；
2
（B）双叶双曲面
5 一阶微分方程
xydx
(x
3
y)dy
3
0的类型是（
）
（D）一阶线性微分方程。
2
（A）全微分方程；三(
（B）可分离变量方程；（C）齐次方程；
6)设u
f(r)是具有二阶连续导数的函数，
5
rx
2
y
2
z
2
，求
u
2
x
。
南京理工大学高等数学历年期末试卷 - 图文
