为?，圆环的角速度为?。规定水平向右方向和顺时针方向分别为水平动量和角速度的正方向。在水平方向，由动量定理有
mvsin??mv0sin??It ①
由对质心的动量矩定理有
rm(r?)?rm(r?0)??rIt ②
按题意，圆环在弹起前刚好与地面无相对滑动，因而此时圆环上与地面的接触点的水平速度为零，即
vsin??r??0 ③
由题意知
0?vcos??kv0cos??0④
联立①②③④式得
v?
（2）若圆环与地面碰后能竖直弹起，则其速度与竖直方向的夹角
??0
将上式代入⑥式得，使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件为
sin???r?0v012⑤ 4k2v0cos2??(r?0?v0sin?)22
r?01⑥ tan???(tan??)2kv0cos? 1⑦ ??(r?0?v0sin?)2r⑧
在此条件下，在与地面刚刚碰后的瞬间有
??0，v??v0kcosθ ⑨
即圆环做竖直上抛运动。圆环上升的最大高度为
2222kcos2?k2(v0?r2?0)v2v0 ⑩ h???2g2g2g（3）由于忽略空气阻力，圆环再次弹起后，角速度保持为?不变，质心做以初速度
为v的斜抛运动。圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s随?变化的函数关系式为
kvcos?v2sin2?s???0(v0sin??r?0)ggs取最大值时，??
?
的取值?满足
dsd????kv0(v0cos2??r?0sin?)?0g由得?式得
22?r?0?r2?0?8v0sin??4v0
?
将?代入?式得
s1?16g
?
?
22222k(r2?0?8v0?3r?0)8v0?2r?0(r?0?r2?0?8v0)s2??6
22222k(r2?0?8v0?3r?0)8v0?2r?0(r?0?r2?0?8v0)16g式中s1和s2分别对应于?式右端根号前取正和负号的情形。由以上两式可知，s的最大值为
smax?22222k(r2?0?8v0?3r?0)8v0?2r?0(r?0?r2?0?8v0)16g?
又因为
?1?sin??1
由上式得，当s取最大值时，r、v0和?0应满足
v0?r?0 ?
评分参考：第（1）问9分，①②式各2分，③④⑤⑥⑦式各1分；第（2）问4分，⑧⑨式各1分，⑩式2分；第（3）问7分，???????式各1分。
四、（25分）
（1）解法（一）
按照题给坐标系，设待测点P的位置为(xP,0,a)，飞机在t?0时所在点K的位置为(0,h,0)。在时刻t1，飞机所在位置A点的坐标为(x1?xA,h,0)，机载雷达此时发出一光信号；该信号到达P点，经反射后，于时刻t2返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为(x2?xA?,h,0)，如图所示。由于光速不变，飞机做匀速直线运动，有
①
x2?x1?v(t2?t1) ② 式中R0?h2?a2。现设在时刻t1?，飞机所在位置A点的坐标
?,h,0)，机载雷达此时发出另一光信号；该信号到达P点，为(x1?返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机经反射后，于时刻t2?,h,0)。同理有 的机载雷达的位置为(x222R0?(x1?xP)2?R0?(x2?xP)2?c(t2?t1) ③ ??x1??v(t2??t1?)x2 ④
??x1?v(t1??t1)x1 ⑤
??x2?v(t2??t2) x2由①②式和v??c得
122 t2?t1??R0?(x1?xP)2?R0?(x1?xP?x2?x1)2???c122??R0?(x1?xP)2?R0?(x1?xP)2?2(x2?x1)(x1?xP)?(x2?x1)2???c ⑥ 1?222222???R0?(x1?xP)?R0?(x1?xP)?2v(t2?t1)(x1?xP)?v(t2?t1)?c22R0?(x1?xP)2??c22??xP)2?R0??xP)2?c(t2??t1?)R0?(x1?(x2v(t2?t1)22cR0?(x1?xP)x1?xP上式右端已略去了(v/c)2级的高阶项。由⑥式解得
7
22R0?(x1?xP)2 t2?t1?vc 1?c1x12R0?(x1?xP)2 2R2?(x?x)2?01P?cv1??c???2R0?(x1?xP)2?x1?xP ⑦
22R0?(x1?xP)22v??2(x1?xP)cc同理，由③④式和v??c得
2??xP)22v2R0?(x1⑧
??t1????xP) t2?2(x1cc由⑦⑧式得
(t??t)?(t??t)?22211c利用⑤式，⑨式成为
??t2)?(t1??t1)(t22? c??22??xP)2?R0R0?(x1?(x1?xP)2??2v??x1) ⑨ (x12c???t1)]?R?(x1?xP)R?[x1?xP?v(t12(x1?xP)202402?2v2?2(t1??t1)c ⑩
v(t??t1)22c1R0?(x1?xP)上式右端已略去了(v/c)2级的高阶项。令
??t1?T0 ? t1式中，T0为机载雷达在发射的光信号的周期，则
??t2?T ? t2是机载雷达接受到相应的光信号的周期。⑩式可写成 T?T0?或
fD?f?f0??v? f22c0 R0?(xA?xP)2(xA?xP)v? T22c0 R0?(xA?xP)2(xA?xP)式中x1已用xA替代，而
11 f?,f0?
TT0是相应的光信号的频率，fD是接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）。?式也可写为
f?f?f??2vfcos? ?
D00c式中
xA?xPcos?? 22R0?(xA?xP)即?为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。
解法（二）
取航线KA和直线BC所构成的平面为新的坐标平面。K为坐标原点，航线KA为x轴，从K指向BC与Z轴交点的直线为y轴；在时刻t1，飞机所在位置A点的坐标为(x1?xA,0)；目标点P的位置(xP,R0)在这个坐标系里是固定的。
设机载雷达于时刻t发出的发射信号的相位为
8
??t???0t??
机载雷达于时刻 t 在 A?点(x2?xA?(t1),0)接收到的经P式中?0和?分别是相应的角频率和初相位。1反射的信号是机载雷达于时刻t1??在A点(x1?xA(t1??),0)发出的，其相位为
???t1???0?t1????? ① 式中?为信号往返过程所需的时间，它满足
②
③ x2?x1?v?
? t，同理有 经过时间间隔
???t1??t???0?t1 ???t????? ④
22R0?(x1?xP)2?R0?(x2?xP)2?c?
R20?(x1??x2P)2?R0?(x?2?xP)2?c??? x2?x?v?? 1?另外，由于同样的原因（飞机作匀速直线运动） ，还有
x1??x1?v?t x ?2?x2?v?t设机载雷达收到的信号的圆频率为 ? ，则应有
???t1??t?????t1????t ??c 由②③式和v得
??1c??R2x220?(x1?P)?R0?(x1?xP?x2?x21)???1?R2220?(x1?xP)2?R0?(x1?xP)?2(x2?x1)(x1?xP)?(x2?x1)2 c????1c??R2?(x2222201?xP)?R0?(x1?xP)?2v?(x1?xP)?v????2R20?(x1?xP)2?x1?xPvcR2(x2?0?1?xP)c上式右端已略去了(v/c)2级的高阶项。由⑨式解得
2R22 ??0?(x1?xP)1c 1?vx1cR20?(x1?xP)2 2R2?0?(x1?xP)2??1?vx1?xP? c?cR2?0?(x1?xP)2??2R20?(x1?x2P)c?2vc2(x1?xP)同理，由⑤⑥式和v??c得
???2R20?(x1??xP)22vc?c2(x1??xP) 由①④⑧式得
??t??0(?t???)??0(??)将
??2πf 代入?式，利用⑦⑩?式，在?t很小的情形下，略去?t的高阶项，得 f2(xA?xP)vD?f?f0??R2?(x2cf0 0A?xP) 或
9
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨ ⑩
?
? ? ? f?f?f??2vfcos? ?
D00c式中
xA?xPcos?? 22R0?(xA?xP)即?为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。
（2）由于机载雷达天线发射的无线电波束面的张角的限制（见图（b）），有
Ls/2Ls/2ππ???? ? ?
22222R0?(Ls/2)R0?(Ls/2)2频移fD分别为正、零或负的条件是：
当??π/2（xA?xP）时，频移fD?0；
当??π/2（xA?xP）时，即机载雷达发射信号时正好位于P点到航线的垂足处，频移
fD?0 ?
当??π/2（xA?xP）时，频移fD?0。
2当??π/2?Ls/2R0?(Ls/2)2（xA?xP??Ls/2）时，即机载
雷达发射信号时正好位于(xA?xP?Ls/2,h,0)处，正的频移最大
fD1?
2当??π/2?Ls/2R0?(Ls/2)2（xA?xP?Ls/2）时，即机载雷达发射信号时正好位于(xA?xP?Ls/2,h,0)处，负的频移的绝对值最大
fD2??vf22c0R0?(Ls/2)
Lsvf22c0R0?(Ls/2) Ls?
?
（3）在飞机持续发射的无线电波束前沿BC全部通过目标P点过程中，多普勒频移的带宽为
2Lsvv?? ?fD?fD1?fD2?f0?4f0sin22cc2R0?(Ls/2)
由于R0??Ls，有???1，故
22将上式代入到?式得
2v? ?fD?f0?c
评分参考：第（1）问 16 分，
(解法一) ①式2分，②式1分，③式2分，④⑤⑥⑦⑧⑨⑩????式各1分；
(解法二) ①式1分，②式2分，③④式各1分，⑤式2分，⑥⑦⑧⑨⑩????式各1分； 第（2）问 6分，?式2分，频移fD分别为正、零或负的条件正确（包括?式）给2分，??式各1分；
第（3）问 3分， ?式2分，?式1分。 五、（20分）
sin?10
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第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案
