高三数学
测试题(含答案)
一选择题:
?2?x?A?yy?2x,B??xy?log2?,A?B?2?x??1.已知集合( D )
??(A)?0,2? (B)?1,2? (C)???,2?
3x2f(x)??lg(3x?1)1?x2.函数的定义域是 ( B )
(D) ?0,2?
11111(?,??)(?,1)(?,)(??,?)3 (A)3 (B)3 (C) 33 (D)
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )
1y?()x ,x?R2(A)y??x ,x?R (B)y?sinx ,x?R (C)y?x ,x?R (D)
363a?f(),b?f(),52 4.已知f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?lgx.设
5c?f(),2则( D )
(A)a?b?c (B)b?a?c (C)c?b?a (D)c?a?b
x?1??3,x?0f(x)??x??log2,x?0，若f(x0)?3,则x0的取值范围是( A ) 5. 已知函数
(A)
x0?8 (B)
x0?0或
x0?8 (C)
0?x0?8 (D)
x0?0或
0?x0?8
6.若
x??6是f(x)?3sin?x?cos?x的图象的一条对称轴,则?可以是( C )
1 / 10
(A)4 (B) 8 (C) 2 (D)1
?(3a?1)x?4a,x?1f(x)???logax,x?17.已知是(??,??)上的减函数，则a的取值范围是( C )
1(0,)(A)(0,1) (B)3
1211[,)(C)73
1[,1)(D)7
x?1y?log1(x?1)y?x?1y?xy?228.给定函数:①,②,③,④,其中在区间(0,1)上单调递减
的函数的序号是( C )
(A)①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④
21
?a2ba?0,b?0.39.设若是3与3的等比中项,则ab的最小值为( A ) 1(A)8 (B) 4 (C) 1 (D)4
10.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( C ) (A)34 (B) 48 (C) 96 (D)144 11.已知命题p:存在是( D )
(A)p?q (B) (?p)?q (C) (?p)?q (D)
x?(???,),cosx?1xxq:?x?(??,0),2?322; 命题 , 则下列命题为真命题的
p??q
????k?,k?z212.若p:,q:f(x)?sin(?x??)(??0)是偶函数,则p是q的( A )
(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也必要条件 二填空题 13.已知
P??xx?a?,Q??yy?sin?,??R?P?Q,若,则实数a的取值范围是 ; a?1
m?2x?1f(x)?1?2x是R上的奇函数,则m= ;m?1 14. 已知
2 / 10
x2y2??14b15.已知双曲线的右焦点
2yF,与抛物线?12x的焦点重合,过双曲线的右焦点F作其
渐近线的垂线,垂足为M,则点M的纵坐标为 ;
?253
x22p:f(x)?(2a?6)16.已知在R上是单调减函数;q:关于x的方程x?3ax?2a?1?0的两根
均大于3,若p,q都为真命题,则实数a的取值范围是 ;三.解答题
3?a,?72
B＋C7
17. 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且4sin2－cos2A＝.
22
(1)求∠A的度数；
(2)若a＝3，b＋c＝3，求b、c的值. 解 (1)∵ B＋ C＝ π－ A，即
B＋CπA
＝ － ， 222
B＋C7A72
由4sin－cos2A＝ ，得4cos－ cos2A＝ ，
2222
27
即2(1＋ cosA)－ (2cos2A－1)＝ ，整理得4cos2A－ 4cosA＋1＝ 0，
21
即(2cosA－1)2＝ 0.∴ cos A＝ ， 又0° 2b2＋c2－a2 (2)由A＝ 60°，根据余弦定理cosA＝ ， 2bcb2＋c2－a21即＝ ，∴b2＋ c2－bc＝ 3， 2bc2又b＋ c＝ 3， ② ④ ③ ① ∴ b2＋ c2＋ 2bc＝ 9. ① － ③ 整理得：bc＝ 2. 3 / 10 ?b＝1， 解②④联立方程组得? ?c＝2， ?b＝2，或? ?c＝1. 18. 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，…. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2 , ∴a1=1 ∵Sn=2-an即an+Sn=2 , ∴an+1+Sn+1=2 两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0 即an+1-an+an+1=0, 2an+1=an an?11?a∵an≠0 ∴n2(n∈N*) 11()n?1所以，数列{an}为首项a1=1，公比为2的等比数列.an=2(n∈N*) (Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…) 1∴bn+1-bn=(2)n-1 得b2-b1=1 1b3-b2=2 1b4-b3=(2)2 …… 1bn-bn-1=(2)n-2(n=2，3，…) 4 / 10 将这n-1个等式累加，得 112131?()?()???()n?2222211?()n?112??2?2()n?1121?2 bn-b1=1+ 1又∵b1=1，∴bn=3-2(2)n-1(n=1，2，3，…) 1(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n(2)n-1 11111∴Tn=2[(2)0+2(2)+3(2)2+…+(n-1)(2)n-2+n(2)n-1] ① 111111()n?1?n()n2] ② 而 2Tn=2[(2)+2(2)2+3(2)3+…+(n-1)2111111Tn?2[()0?()1?()2???()n?1]?2n()n22222 ①-②得：211?()n2?4n(1)n?8?8?4n(1)n411222n1?n2Tn==8-(8+4n)2(n=1，2，3，…) 19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形. 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； BD（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求BC1的值. 解: (1) ∵AA1C1C为正方形, ?A1A?AC, 又面AA1C1C⊥面ABC, 5 / 10
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