第一章 更高更妙的高中数学解题策略
深化能力立意，突出能力与素质的考查始终是高考数学命题的导向与主题,数学《考试大纲》明确要求:“在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性;精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题;也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题”.综观近几年高考的数学试卷，我们也可以发现这样一个共同的特征:每份试卷在保证一定量的基础题的同时，也加大了能力题的考查.笔者认为，这也将成为今后命题的一大趋势，因为如此设计的优势在于可以让大部分学生获得基础分数，保证全省高考平均分达到一定的标准，又可满足部分优秀学生“英雄有用武之地”，冲击高分，脱颖而出.因此，要冲击一流大学，必须搞定能力题.
关于能力题似乎没有一个标准的定义，一般认为，一份试卷中最后两题就是能力题，有时也称把关题、综合题.从高考试卷分布来看，能力题一般占全卷总分值的五分之一.
能力题往往具有知识容量大、能力要求高等特点，它能够综合考查数学知识、数学思想与数学方法、对考生灵活运用所学知识解决实际问题的能力以及创新能力的要求较高.因此，解高考能力题没有一种“放之四海而皆准”的统一方法.但即使这样，我们还是可以从把握热点、突破难点、夯实基础、消除思维定式与适当延伸拓展等方面对其进行研究，从而掌握解决策略，增强应试信心.
1.1 夯实基础知识，争取“拾级而上”
夯实基础知识，掌握基本方法是解决能力题的前提.但夯实基础并不意味着搞题海战术.有人认为，数学教学最简单的方法是把大量的复习资料抛给学生，让学生在解题中自我领悟，教师只需评判结果，对对答案.笔者认为这是一种不负责任的教法，实践也证明了这是一种收效甚微的低水平的教学，是应该摒弃的.
2003年的高考数学被认为是十几年来综合题最多、最难的.然而，笔者的一位女学生却考了满分(当年全省仅有三位同学获得高考数学满分).她在高三复习时并没有做大量的课外习题，而是非常认真地拿起教材，逐字逐句地阅读，一道一道地解决书本上的题目.这种学习方法值得我们深思与借鉴.因为很多时候，我们是“只在此山中，云深不知处”.
另外，复习中我们发现很多同学数学成绩徘徊不前的一个重要原因就是“急功近利”，不能沉下心来认真研读教材，从教材中明了数学概念，领会数学思想，掌握数学方法.
事实上，即使是高考试题中的能力题也不是空中楼阁，命题者往往会“心太软”，特意设计一些“梯子”，只要熟练掌握教材内容，熟悉常用方法，解答时就可“拾级而上”，甚至渐入佳境，直捣黄龙.
2017年高考浙江卷的第15题是一道向量题，也是一道能力题，基础扎实的同学可以借助多种知识与方法来解决. 【例1】（2017年高考浙江卷第15题）已知向量a，b满足a?1，b?2，求a?b?a?b的最小值和最大值．解法一 运用坐标与三角换元的思想来解．
1
不妨设a??1,0?，b??2cos?,2sin??，则
a?b?a?b??2cos??1???2sin??22??2cos??1???2sin??22 ?5?4cos??5?4cos? 令u?5?4cos??5?4cos?，
u2?10?225?16cos2???16,20?．
所以a?b?a?b的最小值是4，最大值是25． 解法二 借助最值函数与绝对值不等式的性质．
a?b?a?b?max??a?b???a?b?,?a?b???a?b???4，
当且仅当a，b共线时等号成立． 由Cauchy不等式有
?a?b?a?b?2?2a?b?a?b?22???4a?b22??20，
a?b?a?b?25，当且仅当a?b?a?b时等号成立．
解法三 线性规划法．
为了方便，可先做个代换，设a?b?m，a?b?n，则已知条件等价于：m?n?10m,n??1,3?，求m?n22???的取值范围．这是一个线性规划问题，易求得m?n???4,25?．
解法四 先做变换．
设a?b?x，a?b?y，则原题等价于： 已知x?y?2，x?y?4，求x?y的最值．
x?y?max?x?y,x?y??4．
2又因为x?y?x?y?2x?y，
22?2?所以x?y??2?x?y?x?y?20．
22所以x?y最小值和最大值分别是4，25．容易验证最值可以取到．
评注 解法二、四中用到了Cauchy不等式，平行四边形对角线平方和等于2倍的相邻边平方和等结论．
2
2013年高考浙江卷理科第16题被认为是全卷得分率最低的一道题．很多考生不知从何入手，真的有那么难吗？事实上，只要准确把握问题本质，就可以从不同角度得到多种解法．
【例2】（2013年高考浙江卷理科第16题）在△ABC中，?C?90?，M是BC的中点．若sin?BAM?1，则sin?BAC?______．
解法一 建立如图1-1-1所示的直角坐标系． 设A?a,0?，B?0,2?，M?0,1?，
?1?2则kAB??2a，kMA??1a，tan?BAM?aa?a1?2a2?2，
a2因为sin?BAM?13，所以tan?BAM?122，
所以
aa2?2?122，即a2?22a?2?0，解得a?2， 所以tan?BAC?2a?2，由此易得sin?BAC?63． 解法二 如图1-1-2所示，过点B作BD?AM交AM延长线于点D，令BD?1，AC?y?x>0,y>0?．
因为sin?BAM?13，所以AB?3， 由△BDM∽△ACM知，
AC?1?yAMxx2?y2，所以x2y2?x2?y2．
又因为在Rt△ABC中，可得4x2?y2?9，两式消去y，得
x2?9?4x2??x2?9?4x2，可解得x2?32，即x?62x62，所以sin?BAC?3?3． 解法三 如图1-1-3所示，记?BAC??，?BAM??， 由S△ABM?12S△ABC得 AB?AM?sin??12AB?AC?sin?，
3BM?x，
3
AC?AM?cos?????，代入化简可得sin??cos??????同理，由S△ABM?S△ACM化简可得cos??sin??????2． 31， 3将上两式相加得sin?2?????1，注意到?，?的范围，可得2????所以cos2???sin???．
?2，即2?????2，
13由此解得sin??66，即sin?BAC?． 33解法四 如图1-1-4所示，过点M作MD?AB交AB于D点， 令MD?1，则AM?3，AD?22． 又令CM?MB?x，则BD?因为AB2?AC2?BC2， 所以22?x2?1，AC?9?x2．
?x?12?2??9?x2??4x2，解得x?3．
所以sin?BAC?BC2x236???． AB22?x2?122?23x2?16
．?x3BD另解 sin?BAC?cosB??BM解法五 如图1-1-5所示，过B作BD?AB交AM的延长线于D点，令BD?1，则AD?3．设BM?x，
AM?y．
AC8?4x222，sinD?， sin?BMD?sin?AMC??yy3所以在△BDM中，由正弦定理知
1x?，
sin?BMDsinDy即8?4x2?y29x2． ?22，得
8?4x2832222x又因为在Rt△ACM中，y?x?8?4x?8?3x， 代入①式，得
848?3x2??x2?8?4x2?，解得x2?． ?934
所以sin?BAC?2x6． ?322解法六 如图1-1-6所示，设AM?1，sin?CAM?k?0 CM?BM?k， AC?1?k2， AB?AC2?CB2?1?3k2， 在△ABM中，由余弦定理，得 1?3k??1?k?cos?BAM?2221?3k21222k?，可解得， ?333BC即k?，所以 sin?BAC??3AB 233?6． 32解法七 利用向量知识求解．设AB?a，AC?b，且a?x，b?y，则由?C?90?知?a?b??b?0,所以 uuuruuur1?a?b?ga2222?， a?b?b?y2．因为cos?BAM?13?a?b?a2所以a?b?a2a2?2a?b?b2?a2?y2?x2xx2?3y2?uuuruuur22622，所以x?3y，即AB?3AC，所以sin?BAC?． 332008年浙江省的高考数学试卷被认为是浙江省独立命题以来较难的．然而作为“最难”试卷的压轴题，真的像传说中的那么“恐怖”吗？其实也并非如此． 22?【例3】已知数列?an?，an?0，a1?0，an?1?an?1?1?ann?Z??．记Sn?a1?a2?????an， Tn?111?????? 1?a1?1?a1??1?a2??1?a1??1?a2?????1?an?． 求证：当n?Z?时，（1）an （2）Sn>n?2； （3）Tn<3． 讲解 第（1）小题要证明an 5
高妙数学第一章：更高更妙的高中数学解题策略
