创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).
（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.
2. 设?(x)?1?x1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（ ）.
（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）
?(x)与?(x)是等价无穷小；
（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
3. 若
F(x)??x0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且
f?(x)?0，则（ ）.
（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；
（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。
设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?14.
0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2（A）2 （B）2?2（C）x?1 （D）x?2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 2sinx5. limx?0(1?3x)? .
6.
已知cosxx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosxxdx? . )
2?lim(cos?cos?n??nnn7.
22??n?1?cos?)?n2 .
12?－x2arcsinx?11?x2dx?8. .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
x?yy?y(x)e?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及9. 设函数由方程y?(0).
1?x7求?dx.7x(1?x)10.
?x?xe， x?0 1?设f(x)?? 求?f(x)dx．?32?2x?x，0?x?1?11.
1012. 设函数f(x)连续，，且x?0??常数. 求g(x)并讨论g(x)在x?0处的连续性.
12g(x)??f(xt)dtlimf(x)?Ax，A为
1y(1)???xy?2y?xlnx9的解. 13. 求微分方程满足
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x
轴围成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的
体积V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，
q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.
?17. 设函数f(x)在?0,??上连续，且
?0f(x)dx?0，
??0f(x)cosxdx?0.证明：在?0,??内至少存在两个不同的点
xF(x)??f(x)dx?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提示：设
0
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
?5. e6 . 6. 12(cosxx)2?c?.7. 2. 8.3三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
ex?y(1?y?)?cos(xy)(xy??y)?0
?(x)??ex?yy?ycos(xy)ex?y?xcos(xy)x?0,y?0
，y?(0)??1
10. 解：u?x7 7x6dx?du 原式?17?(1?u)u(1?u)du?17?(12u?u?1)du
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）
.
1(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77 ?11. 解：??301f(x)dx??xe?xdx???3100102x?x2dx
??xd(?e?x)???301?(x?1)2dx0?2?x?x????xe?e???3??
2(令x?1?sin?)?cos?d?
12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。
x1xt?u??4
?2e3?1
g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0x (x?0)
g?(x)?xf(x)??f(u)duxx02 (x?0)
g?(0)?lim0x?0?f(u)dux2?limx?0xf(x)A? 2x2
?A?AA?22，g?(x)在x?0处连续。
limg?(x)?limx?0x?0xf(x)??f(u)dux02dy2?y?lnx13. 解：dxx
dxdxy?e?x(?e?xlnxdx?C)?2211xlnx?x?Cx?29 3
111y(1)??,C?0y?xlnx?x39 9 ，
四、 解答题（本大题10分）
?y??2?ydx?y014. 解：由已知且，
将此方程关于x求导得y???2y?y?
x
征
根
：
2特征方程：r?r?2?0 解出特r1??1,r2?2.
?x2xy?Ce?Ce12其通解为
代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得
21y?e?x?e2x33故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
C1?21,C2?33
15. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：
1y?lnx0?(x?x0)x0 由于切线过原点，解出x0?e，从而切线方程为：
1y?1xe
则平面图形面积
A??(ey?ey)dy?01e?12
（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2
1V1?1?e23
V2???(e?ey)2dy0
6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qqV?V1?V2??(5e2?12e?3)
116. 证明：0q?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)000q1q
?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0?1?[0,q]?2?[q,1]
?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1f(?1)?f(?2)?故有：
q0
?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。
x17.
0证：构造辅助函数：。其满足在[0,?]上连续，
在(0,?)上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0
F(x)??f(t)dt,0?x??由
?题
?设
?0，
?有
，
0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx000
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
