专题强化训练(二) 推理与证明
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1?
1．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝??3?是指数函数(小前提)，所以函数y1?＝??3?是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是( )
A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错 C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错
A [推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数；当a＞1时，y＝ax是增函数．故选A.]
2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A．假设2是有理数 B．假设3是有理数 C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数
D [应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．]
xy
3．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓
ab展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
xyz
A.＋＋＝1 abcxyyzzxC.＋＋＝1 abbcca
xyz
B.＋＋＝1 abbccaD．ax＋by＋cz＝1
x
x
A [类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．] 4．下面四个推理不是合情推理的是( ) A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
C [逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．]
5．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定( )
A．大于零 C．小于零
B．等于零 D．正负都可能
A [f(x)＝x3＋x是奇函数且在R上是增函数， 由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)． 可得f(a)＋f(b)>0.
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0. 所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A.] 二、填空题
6. 从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，概括出第n个式子为________．
1－4＋9－16＋…＋(－1)n1n2＝(－1)n1·(1＋2＋…＋n) [式子左边是项数的平方和且正、负相间，奇数项为正，偶数项为负，所以用(－1)n－1调节，式子右边是前n个正整数的和，奇数项为正，偶数项为负，用(－1)n＋1调节．]
7．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
－
＋
22S2＝S2正方形正方体；截下直角三角形截下三侧面两两垂直的1＋S2＋S3 [类比如下：
三棱锥；直角三角形斜边平方三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和三棱
22
锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S21＋S2＋S3.(这个结论是正确的，证明略)]
111
8．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
abc
111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c
9 [因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以＋＋＝＋＋
abcabcbacbac
＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2
abbcca成立．]
三、解答题
9．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x＋y|≤|1＋xy|. [证明] 要证|x＋y|≤|1＋xy|， 即证(x＋y)2≤(1＋xy)2， 即证x2＋y2≤1＋x2y2， 即证(x2－1)(1－y2)≤0， 因为|x|≤1，|y|≤1， 所以x2－1≤0,1－y2≥0，
所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．
10. 已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证a，b中至少有一个是非负数． [证明] 假设a，b中没有一个是非负数，即a＜0，b＜0，所以 a＋b＜0.
又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 所以，a，b中至少有一个是非负数．
1．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人都会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是 ( )
A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德 B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英
A [分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语
ba
·＋2ab
cb·＋2bc
ca
·＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号ac
2021学年高中数学第二章推理与证明专题强化训练含解析人教A版选修1_2.doc
