具有广义凸性的一类半无限向量分式规划的鞍点准则＊
李 钰1* ，严建军2，李江荣1
【摘 要】摘 要:利用局部渐近锥K，在定义(F，α，ρ，d)K -V - 凸函数等几类广义凸性基础上，研究涉及这些广义凸性的一类半无限向量分式规划的鞍点。 【期刊名称】贵州大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2015(032)005 【总页数】4
【关键词】关键词:半无限向量分式规划;(F，α，ρ，d)K - V - 凸函数;鞍点 近些年，最优化在理论上的相关研究已取得了很大进展，同时，凸性理论也被广泛应用到最优化的各个领域中，而数学规划作为最优化的一个重要分支，影响则更为深远。Preda［1］引入了(F，ρ)-凸函数。Xu［2］对之进行了推广，建立了广义的(F，ρ)- 凸函数。Z. A. Liang，H. X. Huang 和P. M.Pardalos［3］建立了更为广义的凸性条件，提出(F，α，ρ，d)- 凸函数。
本文利用局部渐近锥K，在已有定义(F，α，ρ，d)K - V - 凸函数、(F，α，ρ，d)K - V - 伪凸函数等广义凸函数的基础上，研究涉及这些广义凸性的一类半无限向量分式规划的鞍点准则。
1 基本概念
定义1.1［4］ 映射K:2X × X →2X 称为局部渐近锥，若对每一个集M ?X 和每一点x ∈X，锥K(M，x)具有以下性质: (i)K(M，x)= K(M - x，0);
(ii)K(M，x)= K(M ∪U，x)，?U ?(x); (iii)K(M，x)= Q，对?x ?;
(iv)K(M，x)= M，对?x ∈int M;
(v)K(φ(M)，φ(x))= φ(K(M，x))，这里φ:X →X 为任一线性同胚; (vi)O+ M ?O+ K(M，x)。
定义1.2［4］ 设K(·，·)为一局部渐近锥，则称fK(x;·):X × X →R ∪{+ ∞}，为f 在x 处的K - 方向导数。
定义1.3［5］ 若存在紧凸集?Kf(x)，满足fK(x;y)则称f:X →R 在x 处是K -次可微的，其中，对?y ∈R n}为f 在x 处的K - 次微分。
定义1.4 称泛函F:R n × R n × R m →R 是次线性的，如果对?x1，x2 ∈R n ，有
定义1.5［6］ 设f 是定义在非空开集X ?R n 上的实向量函数，f:X →R p ，其每个分量fi 是局部Lipschitz 连续的，如果?F:X×X×R n →R 是次线性函数，函数α = (α1，…，αp)Τ ，αi:X × X →R+ \\{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，ρp)Τ ，ρi ∈R 和局部渐近锥K，如果对于?x ∈X，有
则称f = (f1，…，fp)在x0 ∈X 处是(F，α，ρ，d)K -V - 凸的。
定义1.6［7］ 设f 是定义在非空开集X ?R n 上的实向量函数，f:X →R p ，其每个分量fi 是局部Lipschitz 连续的，如果?F:X×X×R n →R 是次线性函数，函数α = (α1，…，αp)Τ ，αi:X × X →R+ \\{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，ρp)Τ ，ρi ∈R 和局部渐近锥K，如果对于?x ∈X，有
则称f = (f1，…，fp)在x0 ∈X 处是(F，α，ρ，d)K -V - 伪凸的。
定义1.7 设f 是定义在非空开集X ?R n 上的实向量函数，f:X →R p ，其每个分量fi 是局部Lipschitz 连续的，如果?F:X×X×R n →R 是次线性函数，函数α = (α1，…，αp)Τ ，αi:X × X →R+ \\{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，
ρp)Τ ，ρi ∈R 和局部渐近锥K，如果对于?x ∈X，有
则称f = (f1，…，fp)在x0 ∈X 处是(F，α，ρ，d)K -V - 拟凸的。
2 主要结果
考虑半无限向量分式规划:
其中fi，gi:X0 →R，i = 1，…，p，hj:X0 →R，j ∈J，J 为无限紧集，X0 ?R n 是一非空开集。记X ={x ∈X0 | hj(x)≤0，j ∈J}，J(x* )= {j ∈J |hj(x* )= 0}是主动约束集，R(J)+ = {μ:J →R+|对?j ∈J，仅有有限个μj ≠0}。总是假定对所有x∈X0，有fi(x)≥0，gi(x)＞0，i=1，…，p。
定义2.1 (FP)的一个可行解x* ∈X 称为是(FP)的一个有效解，如果不存在x ∈X，使得
定义2.2 (FP)的一个可行解x* ∈X 称为是(FP)的一个弱有效解，如果不存在x ∈X，使得
首先考虑单目标规划问题
其中l，hj :X0 →R 是局部Lipschitz 连续函数。 在点x* ∈X0 处，记J* ={j∈J|hj(x* )=0}。
定义2.3 对于问题(P)，若在点x* ∈X0 处，有Ω0-≠?，则称问题(P)的约束满足约束品性C0 。引理2.1［8］ 若x* 是(P)的局部最小点且在x*处(P)的约束满足约束品性C0 ，则存在数(λj)j∈J，使得
引理2.2［1］ x* 是(FP)的有效解的充要条件是x* 是P 个规划问题(FPk)(k = 1，…，p)的最优解，其中(FPk)为 现引入与 (FPk) 有密切关系的规划(EFPk): 其中，且i ≠k。
具有广义凸性的一类半无限向量分式规划的鞍点准则
