② 已知角?的某一个三角函数值，但不确定角?的终边所在的象限，求角?的其他
三角函数值。
③ 已知角?的某一个三角函数值，且是用字母给出的，没有指定角?的终边所在的象
限，求角?的其他三角函数值。 （2）化简三角函数式——化简问题；
利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求是： ①使式中的项数尽量少； ②使三角函数的次数尽量低； ③使三角函数的种类尽量少；
④使式中的分母、根式中尽量不含三角函数； ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号； ⑥能求值的尽可能求值。
（3）证明三角恒等式——证明问题； 证明三角恒等式的常用方法： ①从一边开始，证明它等于另一边； ②证明左右两边等于同一个式子； ③由繁到简，逐步寻找等式成立的条件； ④变更命题法，如要证
ACDC?，可证AD?BC或证?等。 BDBA不论哪一种方法，一般都要遵循由繁到简的原则。
例题1 （利用同角三角函数关系求值）
4，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值。 34思路分析：由商数关系，得sin α＝cos α，联想平方关系，构建关于sin α，cos α的
3已知tan α＝
方程，进而求出三角函数值。
答案：由tan α＝得sin α＝
sin?4＝， cos?34cos α， ① 3又sin2α＋cos2α＝1， ②
162
cosα＋cos2α＝1， 99cos2α＝，
25由①②得
又α是第三象限角， ∴cos α＝－sin α＝－
3， 54。 5技巧点拨：1. 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公
式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系。
2. 开方时应注意角所在象限对三角函数值符号的影响，若角所在象限已经确定，求解只有一组结果；否则应分类讨论，对应有两组解，同时应体会方程思想的运用。
例题2 （利用同角关系式化简三角函数式） 若0<θ<
tan??sin?sin??，化简·
tan??sin?1?cos?2tan??sin?，考虑到因式
tan??sin?思路分析：先弦切互化，减少三角函数的名称，对于
sin?(1?cos?)2的特征，需等价转化为，进而把问题解决。
1?cos?(1?cos?)(1?cos?)答案：原式＝
tan??tan??cos?sin?· tan??tan??cos?1?cos?1?cos?sin?sin?(1?cos?)2＝·＝· 1?cos?1?cos?1?cos?1?cos2??又0<θ<，∴sin θ>0，
2sin?1?cos?sin?故原式＝·＝＝1。
21?cos?sin?sin?技巧点拨：1. 弦切互化是三角函数式化简的最常用方法，一般是化切为弦，通过减少函数名称，达到化简的目的，但对于关于sin θ，cos θ的齐次式，也可采取化弦为切。
2. 对于含有三角函数的二次根式化简问题，常把被开方数配成完全平方式，然后借助角的范围开方化简，若给出的范围不明确，对函数值产生影响时，应注意讨论。
证明三角恒等式
sin??cos??11?sin?【满分训练】求证：＝。
sin??cos??1cos?思路分析：解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较，关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧。
答案：证明：左边 ＝
(sin??cos??1)(sin??cos??1)
(sin??cos??1)(sin??cos??1)(sin??1)2?cos2?＝ 2(sin??cos?)?1(sin2??2sin??1)?(1?sin2?)＝ sin2??cos2??2sin?cos??12sin2??2sin?＝ 1?2sin?cos??1
＝
2sin?(sin??1)1?sin?＝＝右边.
2sin?cos?cos?∴原等式成立。
技巧点拨：利用同角三角函数式证明时注意化异为同，即化异名为同名、化异次为同次等策略的应用是关键。常见转化策略有切化弦、弦化切及平方关系的正向、逆向、变形转化等。
（答题时间：40分钟）
3?1. 已知α∈（，π），sin α＝，则cos α等于（ ）
5244A. B. －
5531C. － D.
57cos2x?**2. 当0 **3. 已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为（ ） 2tan?A. －4 *4. 若sin θ＝A. 0 B. 4 C. －8 D. 8 m?34?2m，cos θ＝，则m的值为（ ） m?5m?5 B. 8 C. 0或8 2 2D. 3＜m＜9 的值为________。 *5. 若α为第三象限角，则 cos?1?sin?＋ 2sin?1?cos?*6. 在△ABC中，2sin A＝3cosA，则角A＝________。 *7. 求证：sin θ（1＋tan θ）＋cos θ·（1＋*8. 若 3?<α<2π，化简 2111）＝＋。 tan?sin?cos?1?cos?1?cos?＋。 1?cos?1?cos?*9. 已知tan α＝3，求下列各式的值： （1） 3cos??sin?3cos??sin?5sin3??cos?（3）。 2cos3??sin2?cos?； （2）2sin2α－3sin αcos α； 1. B 解析：∵α∈（－ ?，π），∴cos α<0，∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝－1?sin2?＝2 4。 5?时，0 cosxsinx?sin2xtanx?tan2x11 设t＝tan x，则0 t(1?t)t?t 1当且仅当t＝1－t，即t＝时等号成立。 21sin?cos?3. C 解析：tan α＋＝＋ tan?cos?sin?sin2??cos2?)1＝＝， sin?cos?sin?cos?55∵sin α－cos α＝－，∴1－2sin αcos α＝， 2411∴sin αcos α＝－，∴＝－8。 8sin?cos?2. D 解析：当0 4. C 解析：由sin2 θ＋cos2 θ＝1得 （ m?324?2m2 ）＋（）＝1 m?5m?5解得m＝0或8，故选C。 5. －3 解析：∵α为第三象限角， ∴sin α<0，cos α<0， ∴原式＝6. cos?2sin?cos?2sin?+＝＝－1－2＝－3。 ?cos?sin??cos??sin?? 解析：由题意知cos A＞0，即A为锐角， 3将2sin A＝3cosA两边平方得2sin2 A＝3cos A， ∴2cos2 A＋3cos A－2＝0， 解得cos A＝∴A＝ 1或cos A＝－2（舍去）， 2?。 37. 证明：左边＝sin θ（1＋ sin?cos?）＋cos θ·（1＋） cos?sin?cos2?sin2?＝sin θ＋＋cos θ＋ sin?cos? cos2?sin2?＝（sin θ＋）＋（cos θ＋） sin?cos?sin2??cos2?sin2??cos2?＝（ ）＋（） sin?cos?11＝＋＝右边， sin?cos?[来源:Zxxk.Com]∴原等式成立。 8. 解：∵ 3?<α<2π，∴sin α<0， 2(1?cos?)2∴原式＝＋ (1?cos?)(1?cos?)(1?cos?)2 (1?cos?)(1?cos?)(1?cos?)2(1?cos?)2＝＋ 22sin?sin?1?cos?1?cos?＝ sin?＋ sin?， ∵sin α<0， ∴原式＝－＝－ 1?cos?1?cos?－， sin?sin?2。 sin?9. 解：因为已知tan α＝3，所以逆用公式把弦函数化成切函数， ∵tan α＝3；∴cos α≠0， 3cos??sin?3?tan?cos?（1）原式＝＝ 3cos??sin?3?tan?cos?3?31?3＝＝＝－2＋3； 3?31?32sin2??3sin?cos?（2）原式＝ sin2??cos2?2sin2??3sin?cos?2cos?＝ 2sin??cos2?cos2?2tan2??3tan?2?32?3?39?； ＝＝2210tan??13?1[来源学科网]（3）方法一： 5sin3??cos?(sin2??cos2?)原式＝ 2cos3??sin2?cos?5tan3??tan2??1145＝= 22tan?11
必修4第一章1.2任意角的三角函数;1.3三角函数的诱导公式
