2015年北京大学优秀中学生体验营数学试题及答案

2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题

文科做前5题，理科做后5题，每题20分，满分100分． x2x11、设2?，求4的值． x+1x?12 2、已知D为三角形ABC的边BC上的一点，BD:DC=1:2，AB:AD:AC=3:k:1，求k的取值范围． 3、已知正实数a,b,c满足a+b+c=1，求abc的最大值． (1?a)(1?b)(1?c) 4、构造整系数多项式函数f(x)，使f(sin100)=0． x2y25、已知椭圆2?2?1上一点P与两焦点F1、F2形成的夹角∠F1PF2=α，求三角ab形F1PF2的面积． 6、已知n∈N?，求证：11115?++...+? 2222123n3 7、已知a,b,c是三角形的三条边之长，k为实数，且ak+bk=ck，求证：k<0或k>1． 2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题 参考答案 11、 6 572、(，) 33提示：利用余弦定理和三角形的三边关系． 13、 8提示：齐次化，有

1于是所求的最大值为．

8 4、f(x)=8x3?6x+1 提示：利用三倍角公式及1?2sin(3?100)=0构造． ?5、b2tan 2 6、由

可得

故原命题得证．

7、记

若c不为最大边，则由

得

于是k>1． 综上，原命题得证．